第4课时圆锥曲线中的证明与探索性问题A级·基础过关|固根基|1.设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△MF1F2的周长是4＋2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足AB⊥BC，AD∥OC，连接AC交DE于点P，求证：|PD|＝|PE|.解：(1)由e＝，知＝，所以c＝a，因为△MF1F2的周长是4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设D(x0，y0)，所以E(x0，0)．因为AB⊥BC，所以可设C(2，y1)，所以AD＝(x0＋2，y0)，OC＝(2，y1)．由AD∥OC可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝.所以直线AC的方程为＝.整理得y＝(x＋2)．又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，|PD|＝|PE|.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个顶点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足OM·ON＝2(O为坐标原点)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得解得∴椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)不妨设点M在点N上方，当直线l的斜率不存在时，M(0，)，N(0，－)，则OM·ON＝－3，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y整理得，(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，由Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，解得k<－或k>，则x1＋x2＝－，x1x2＝，∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝. OM·ON＝2，∴＝2，解得k＝±，满足Δ>0，∴存在符合题意的直线l，其方程为y＝±x＋2.3.1如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.解：(1)设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)．因为|MN|＝3，所以r2＝＋22，解得r2＝.所以圆C的方程为(x－2)2＋＝.(2)证明：把x＝0代入方程(x－2)2＋＝，解得y＝1或y＝4，即点M(0，1)，N(0，4)．①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.联立方程消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.所以∠ANM＝∠BNM.综上，∠ANM＝∠BNM.4．(2019届湖北八校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为.(1)若N，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P(2，t)到焦点F的距离为，所以2＋＝，解得p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x，P(2，2)，设直线l1为y＝ax＋b，则解得所以l1的方程为y＝x＋，联立得可解得xQ＝，又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，所以＝＝.(2)存在．设直线l2的方程为x＝ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y2－2ny－2m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②将①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，满足Δ＝4n2＋8m>0，所以直线l2：x＝ny＋2.因为圆心M(a，0)到直线l2的距离d＝，所以|DE|＝2，显然当a＝2时，|DE|＝2，所以存在实数a＝2，使得|DE|为定值.B级·素养提升|练能力|5.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；2(2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．解：(1) 直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)，∴F(0，2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2.设过...
