高中数学利用几何特征速解题邱宴军平面解析几何的研究对象就是平面几何图形及其性质，所以在处理平面解析几何问题时，要充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，有时能减少计算量，下面以圆的有关问题说明这一点。例1平面内有两点A（，0），B（1，0），在圆C：上取一点P，求的最大值和最小值。解：该点P（，），该题虽容易得到，但若考虑消元转化为一元函数或利用均值不等式求解，比较烦琐。若注意到，那么问题转化为求的最值。由圆的对称性可知，使取得最值的点P就是直线和圆的交点。∴，。从而的最大值为100，最小值为20。例2求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。解：因圆心在直线上，故可设圆心。又因为圆与x轴相切，所以。此时可设圆方程为（运用已知条件，找出a、r间的联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助）。又圆被直线截得的弦长为，同时考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用a表示出来，便可利用勾股定理求得a。弦心距，所以，解得。当时，，圆方程为。当时，，圆方程为。点评：此题若不充分利用圆的半径、弦长的一半、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。例3已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线l与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。解：∵点M是弦AB中点，∴∠OMP=，∴点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为用心爱心专心115号编辑，即。同时，点M又在圆的内部，所以，即，所求的轨迹方程为。点评：此题若不能挖掘几何条件∠OMP=，因为点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法求解，计算量将很大，并且比较麻烦。例4已知圆M：，直线l：。过直线l上一点A作△ABC，使∠BAC=，边AB过圆心M，且B、C在圆M上，求点A的横坐标的取值范围。解：该题从表面条件来看，易使我联想夹角正切公式。虽可利用圆心M到直线AC的距离来求解，但需要一定的意志和耐心，否则很难正确求得答案。若注意挖掘圆的性质，引切线AT，T为切点，连接MT，由切线性质不难看出：（1）；（2）。问题可转化为。设，则，解得。∴点A的横坐标取值范围是。用心爱心专心115号编辑
