高三数学交流试题（理）参考答案及评分细则一、选择题题号12345678910答案BCACDABCBB二、填空题11．12．7513．－14．∪∪15．三、解答题16．解：（Ⅰ）==（5分）∴函数的周期-（6分）（Ⅱ）设，则，（8分）令，得，则n+2=3，得n=1（10分）∴∴（12分）17．解：（1）如果两个题目均答错，得0+（－10）=－10分，P（ξ=－10）=0.2×0.4=0.08；这位挑战者总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=1－P（ξ＜0）=1－0.08=0.92（4分）（2）如果两个题目均答错，得0+（－10）=－10分，如两个题目一对一错，包括两种情况：①第一个对，第二个错，得10+（－10）=0分；②第一个错，第二个对，得0+20=20分；高三数学试题（理）参考答案及评分细则第1页（共5页）如果两个题目均答对，得10+20=30分．故ξ的可能取值为：－10，0，20，30．P（ξ=－10）=0.2×0.4=0.08；P（ξ=0）=0.8×0.4=0.32；P（ξ=20）=0.2×0.6=0.12；P（ξ=30）=0.8×0.6=0.48；（8分）所以ξ的概率分布为ξ－1002030P0.080.320.120.48（10分）根据ξ的概率分布，可得ξ的期望.Eξ=（－10）×0.08+0×0.32+20×0.12+30×0.48=16（12分）18．解法一：（1）连结AO， A1O⊥面ABC，AO⊥BC．∴A1A⊥BC．（4分）（2）由（1）得∠A1AO=45°由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3∴A1O=3，AA1=3过O作OE⊥AC于E，连结A1E，则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角（6分） OE=，∴tan∠A1EO=（8分）即二面角A1—AC—B的大小为arctan2．（3）过D作DF∥A1O，交AO于F，则DF⊥平面ABC．∴BF为BD在面ABC内的射影，又 A1C1∥AC，∴要使BD⊥A1C1，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，∴F为△ABC的中心，∴（12分）解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系．（1）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3．∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A1（O，0，3），B（－，0，0）． =（0，－3，3），=（2，0，0）高三数学试题（理）参考答案及评分细则第2页（共5页）ABOCEDFA1B1C1ABOCDA1B1C1xzy∴·=0×2+（－3）×0+3×0=0．∴AA1⊥BC．（4分）（2）设面ACA1的法向量为n1=（x，y，z），则令z=1，则x=，y=1，∴n1=（，1，1）（5分）而面ABC的法向量为n2=（0，0，1）（6分）cos(n1，n2)=又显然所求二面角的平面角为锐角，∴所求二面角的大小为arccos（8分）（3）A1C1∥AC，故只需BD⊥AC即可，设AD=a，则D（0，3－a，a）又B（－，0，0），则=（－，3－a，a），=（，－3，0）．要使BD⊥AC，须·=3－3（3－a）=0，得a=2，而AA1=3，∴A1D=，∴（12分）19．解：（1）设C（x，y），因为=α+β，则（x，y）=α（1，0）+β（0，－2），，由α－2β=1，得x+y=1．即点C的轨迹方程为x+y=1．（4分）由，得（b2－a2）x2+2a2x2－a2－a2b2=0，依题意知，b2－a2≠0．高三数学试题（理）参考答案及评分细则第3页（共5页）设M（x1，1－x1），N（x2，1－x2），则x1+x2=，x1x2=－，因为以MN为直径的圆过原点，所以．即x1x2+（1－x1）（1－x2）=0，即1－（x1+x2）+2x1x2=0．得1+－=0，即b2－a2－2a2b2=0，得b2=（8分） e≤，∴e2=≤3，∴1+≤3，又1－2a2≥0，∴1－2a2≥，∴0＜a≤，从而0＜2a≤1，∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1］（12分）20．解：（1） S2=Ks1+2，∴a1+a2=ka1+2，又a1=2，a2=1，2+1=2k+2，∴k=．（3分）（2）由（1）知Sn+1=Sn+2①当n≥2时，Sn=Sn－1+2②①－②，得an+1=an（n≥2）．又a2=a1，易见an≠0（n∈N*），∴（n∈N*）于是{an}是等比数列，公比为，所以Sn=（8分）（3）不等式＜，即＜，整理得2＜2n（4－m）＜6．（10分）假设存在正整数m、n使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m为整数，则只能是2n（4－m）=4，高三数学试题（理）参考答案及评分细则第4页（共5页）∴或因此，存在正整数m=2，n=1；或m=3，n=1，使＜成立．（13分）21．证明：（Ⅰ）先用数学归纳法证明0＜an＜1，n=1，2，3，…．（1）当n=1时，由已知，结论成立．（2）假设当n=k时，结论成立，即0＜ak＜1．（2分）因为0＜x＜1时，f'（x）=1－＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数．又f（x）在［0，1］上连续，所以f（0）＜f（ak）＜f（1），即0＜ak+1＜1－ln2＜1．故...
