第7讲空间角的计算1．在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B.C.D.2．如图X871，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是()A.B.C.D.图X871图X8723．若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B.C.D.4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．5．已知三棱柱ABCA1B1C1所有棱长均相等，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，那么异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为________．6．如图X872，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为____________．7．(2017年新课标Ⅱ)如图X873，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE//平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角MABD的余弦值．图X8738．如图X874，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点．(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；(2)设BQ＝λBA1，试问：是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由．图X8749．如图X875，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60°.(1)求证：EF⊥PB；(2)当点E为线段AB上靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值．图X87510．(2019年天津)如图X876，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长．图X876第7讲空间角的计算1．D解析：如图D227，建立空间直角坐标系，图D227易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，∴sinα＝|cos〈n，AD〉|＝＝.2．B解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1与平面ACD1所成角，即∠DD1O，其正切值是＝.3．B解析：方法一(间接法)，由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC.故△B1DC为直角三角形．不妨设棱长为1，则有AD＝，B1D＝，DC＝.∴S＝××＝.设A到平面B1DC的距离为h，则有V＝V，∴×h×S＝×B1D×S△ADC.∴×h×＝××.∴h＝.设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝＝.方法二(向量法)，如图D228，取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系．不妨设各棱长为2，则有A(0，－1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)．设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有⇒⇒n＝(0,2,1)．设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，∴sinθ＝cos〈AD，n〉＝＝.图D228图D2294.解析：如图D229，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴D1C1＝(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈D1C1，n〉|＝＝＝.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.5.解析：如图D230，设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为x，令AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝x且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，∴a·b＝a·c＝b·c＝x2.又 AB1＝a＋c，BC1＝BC＋CC1＝AC－AB＋CC1＝b－a＋c，∴AB1·BC1＝(a＋c)·(b－a＋c)＝x2.又 |AB1|＝|a＋c|＝＝x，|BC1|＝|b－a＋c|＝＝x.设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AB1，BC1〉|＝＝＝.图D2306.解析：取A1B1的中点H，连接AH，由题意易知C1H⊥平面ABB1A1，∴∠C1AH即为AC1与平面ABB1A1所成的角．在Rt△C1HA中，C1H＝，C1A＝＝2，∴∠C1AH＝，即AC1与侧面ABB1A所成角为.7．(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF. E是PD的中点，∴EF∥AD，EF＝AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，∴EFBC.四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF.又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)解...
