专题六导数与函数必考点利用导数研究函数性质、证明不等式类型一学会踩点[例1](2016·高考全国乙卷)(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2
(1)讨论f(x)的单调性．(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．(1分)(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．(2分)(ⅱ)设a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．(3分)②若a＞－，则ln(－2a)＜1，故当x∈(－∞，ln(－2a)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)单调递增，在(ln(－2a)，1)单调递减．(4分)③若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．(6分)(2)(ⅰ)设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有两个零点．(8分)(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．(9分)(ⅲ)设a＜0，若a≥－，则由(1)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．(10分
