专题六导数与函数必考点利用导数研究函数性质、证明不等式类型一学会踩点[例1](2016·高考全国乙卷)(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性．(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．(1分)(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．(2分)(ⅱ)设a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．(3分)②若a＞－，则ln(－2a)＜1，故当x∈(－∞，ln(－2a)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)单调递增，在(ln(－2a)，1)单调递减．(4分)③若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．(6分)(2)(ⅰ)设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有两个零点．(8分)(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．(9分)(ⅲ)设a＜0，若a≥－，则由(1)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．(10分)若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．(11分)综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，f(x)的单调性，讨论a的四种情况：a≥0，a＝－；－＜a＜0；a＜－，每缺一种情况或每错一种情况，则扣1分，两个单调区间用“∪”联结者扣1分．(2)单调区间错误者，则扣该情况的1分(3)第(2)问，讨论a的四种情况：a＞0，a＝0，－≤a＜0，a＜－，缺一种情况或者错一种情况，则扣1分(4)缺少综上a的范围，扣1分．1．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R)．(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；(2)当x∈时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝lnx＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝1又f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处切线方程为y＝x－1由⇒x2＋(1－a)x＋1＝0由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：当Δ>0时，即a<－1或a>3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ<0时，即－1
h(e)，所以，结合函数图象可得，当3
