巧用函数的奇偶性解题举例王跃辉函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考必考的知识点，多以选择题、填空题的形式出现。巧妙应用函数奇偶性，能使解题过程化繁为简，起到事半功倍的效果，给人耳目一新的感觉。下面举例说明。例1.已知函数（）是偶函数，且不恒等于零，则（）A.是奇函数B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数分析：本题可以利用函数的奇偶性定义来判断，但是过程有些麻烦。如果从函数奇偶性的性质入手，解法就简捷一些。解：函数，而函数是我们熟知的一个特殊的奇函数，由函数奇偶性的性质知两个奇函数的积是偶函数，所以函数是奇函数，应选A。点评：记住一些常见结论有助于解题，如奇函数与奇函数的和为奇函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，偶函数与偶函数的积为偶函数，奇函数与偶函数的积为奇函数。例2.已知，，证明。分析：本题可以利用不等式的方法证明，若转换视角从偶函数图象关于y轴对称的方向入手，则会使解题更具新鲜感，解题方法更加独特。解：。令，，函数、均为奇函数，所以函数为偶函数。由知定义域为，当时，，，所以。而函数为偶函数，所以当时，函数。综上可知。用心爱心专心例3.实数a=_________时，为奇函数。分析：奇函数图象关于原点对称，而当函数的定义域包含元素“0”时，则一定有。解：函数的定义域为R，因为函数为奇函数，所以，即，则。例4.若为奇函数，则a=_________。分析：在本题中函数的定义域虽然不包含元素“0”，但是我们可以应用定义域内的其他的元素进行解题。解：函数的定义域为，由函数为奇函数知，解得。例5.定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果，，那么（）A.，B.，C.，D.，分析：任何一个函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式，即可以表示为（偶函数）与（奇函数）的和。解：，故选C。例6.定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，试确定m的取值范围。分析：在本题中对于和m来说，它们的正负关系有四种可能性，解决的方法有：①分类讨论，但其解题过程过于复杂；②根据偶函数的性质进行转化，即，则可以大大简化解题过程。解：由题意，得，当时，单调递减，而、都在区间上，所以解得。故m的取值范围是。感悟与提高设是定义在R上的奇函数，，且，那么的值为_________。答案提示：在R上是奇函数，必有，由，得对用心爱心专心一切恒成立，所以是周期为（）的周期函数，故=，，。用心爱心专心
