第五篇数列(必修5)第1节数列的概念及数列的函数特性【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项1,7由相邻项的关系求通项3,4,13,14an与Sn的关系2,8,10数列的函数特性5,9,12综合问题6,11,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016宜春校级模拟)已知数列,,,,,…,则5是它的(C)(A)第19项(B)第20项(C)第21项(D)第22项解析:数列,,,,,…,中的各项可变形为:,,,,,…,所以通项公式为an==,令=5,得n=21.2.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(A)(A)15(B)16(C)49(D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15.3.对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表则a2015等于(D)x12345f(x)54312(A)2(B)3(C)4(D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{an}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.4.(2016吉林校级模拟)已知a1=1,an+1=,则数列{an}的通项为an等于(C)(A)(B)2n-11(C)(D)3n-2解析:因为an+1=,所以3an+1an=an-an+1,两边同除以an+1an得3=-,由a1=1,所以=1,所以数列{}是首项为1,公差为3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=.5.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(D)(A)(B)(C)4(D)0解析:an=-3(n-)2+,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an取最大值,最大值为a2=a3=0.6.(2015衢州一模)数列{an}满足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,则实数k的取值范围是(B)(A)[-9,-8](B)[-9,-7](C)(-9,-8)(D)(-9,-7)解析:an=n2+kn+2=（n+）2+2-,因为不等式an≥a4恒成立,所以3.5≤-≤4.5,解得-9≤k≤-7.27.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为an=.答案:an=8.(2015红河州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-1,则an=.解析:由Sn=an+1-1,Sn+1=an+2-1,所以an+1=an+2-an+1,所以an+2=2an+1.又a1=S1=a2-1,解得a2=2=2a1,所以数列{an}是等比数列,所以an=2n-1.答案:2n-19.已知数列{an}的通项an=n2(7-n)(n∈N*),则an的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0
0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以an的最大值为50.答案:50310.(2015新疆校级期中)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+3,求这个数列的通项公式.解:(1)当n=1时,a1=S1=,(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+3-[(n-1)2+(n-1)+3]=n+.经检验,a1=,不满足上式.所以这个数列的通项公式an=11.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.解:(1)由an=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设an=60,则60=n2-n-30.解得n=10或n=-9(舍去).所以60是此数列的第10项.(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).所以n=6时,an=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).所以当n>6(n∈N*)时,an>0.令n2-n-30<0,n∈N*,解得0a13=1,解得
