课时作业3正弦定理与余弦定理的应用时间：45分钟1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(D)A．10海里B．10海里C．5海里D．5海里解析：如题图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝＝＝5.2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(A)A．50mB．50mC．25mD.m解析：因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根据正弦定理可知，＝，即＝，解得AB＝50m，选A.3．如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为(D)A．15mB．15mC．15(＋1)mD．15m解析：在△BCD中，由正弦定理得BC＝×CD＝15，在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝15.故选D.4．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°(如图所示)，那么这座塔的高是(B)A．20mB．20(1＋)mC．10(＋)mD．20(＋)m解析：由题意知四边形ABDE为矩形，∴∠BAD＝90°－∠DAE＝45°，∴AB＝BD＝20m，∴AE＝BD＝20m．故在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝20m.∴CD＝DE＋CE＝20＋20＝20(1＋)(m)．5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A．akmB.akmC.akmD．2akm解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×(－)＝3a2，∴AB＝akm.6．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋15)m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)m，所以建筑物的高度为PBsin45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)，故选A.7．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少小时后，两车的距离最小(C)A.B．1C.D．2解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝时，DE最小．故选C.8．某炮兵阵地位于A点，两个观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为等边三角形，且DC＝km，当目标出现在B点(A，B两点位于CD两侧)时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离约为(C)A．1.1kmB．2.2kmC．2.9kmD．3.5km解析：如图，∠CBD＝180°－∠CDB－∠BCD＝180°－45°－75°＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得＝，故BD＝.在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°，∴AB＝≈2.9(km)．故炮兵阵地与目标的距离约为2.9km，故选C.9．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120米，则河的宽度为(60－60)米．解析：由题意可得∠ACB＝105°，由正弦定理得＝，BC＝60－60，如图，过C点作CD⊥AB于D，设CD＝x，则x＝BCsin45°＝60(－1)＝60－60.10．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝.解析：假设蚂蚁的爬行路线为A→B→C→A.根据题意，作出图形，如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则∠BAC＝60°，由正弦定理知＝，∴x＝.11．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400m到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800m到达C处，则索道...
