15随机变量及其应用1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为().A.1220B.2755C.27220D.2155解析▶“X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.答案▶C2.已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=().A.32B.2C.52D.3解析▶由数学期望公式可得E(X)=1×35+2×310+3×110=32.答案▶A3.已知随机变量X服从正态分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=.解析▶因为μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954.答案▶0.9544.若随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p=.解析▶因为随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以{np=7,np(1-p)=6,解得p=17.答案▶17能力1▶求离散型随机变量的分布列【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:年龄/岁[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.解析▶(1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为P=C41C52·C41·C61C102+C42C52·C42C102=410×2445+610×645=2275.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=C42C52·C62C102=610×1545=15,P(ξ=1)=C41C52·C62C102+C42C52·C41·C61C102=410×1545+610×2445=3475,P(ξ=2)=2275,P(ξ=3)=C41C52·C42C102=410×645=475,∴ξ的分布列是ξ0123P1534752275475离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.(2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格:按规范要求写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.解析▶(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=35.故X的分布列为X200300400P11031035能力2▶相互独立事件同时发生的概率【例2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解析▶记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=13×25=215,故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P(EF)=13×25=215,P(X=100)=P(EF)=13×35=15,P(X=120)=P(EF)=23×25=415,P(X=220)=P(EF)=23×35=25.故所求的分布列为X0100120220P2151541525(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法①...
