专题一～四规范滚动训练(四)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三角形的面积为S＝accosB.(1)求角B的大小；(2)若＋＝4，求sinAsinC的值．解：(1)在△ABC中，S＝acsinB，由已知S＝accosB可得acsinB＝accosB，∴tanB＝，又∵0＜B＜π，∴B＝.(2)∵＋＝＝＝4，∵B＝∴b2＝3ac，由正弦定理可得sin2B＝3sinAsinC，∵B＝，∴sinAsinC＝.2．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式．解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，整理得a4＝，又a2＝，a3＝，所以a4＝.(2)证明：当n≥2时，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1，所以4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)，即an＋2＝an＋1－an(n≥2)．经检验，当n＝1时，上式成立．因为＝＝＝为常数，且a2－a1＝1，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．(3)由(2)知，an＋1－an＝(n∈N*)，等式两边同乘以2n，得2nan＋1－2n－1an＝2(n∈N*)，又20a1＝1，所以数列{2n－1an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以2n－1an＝2n－1，即an＝(n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．3．(2016·甘肃兰州市诊断考试)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1⊥BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．解：(1)证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，∴D1C⊥BC.在等腰梯形ABCD中，连接AC，∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴BC⊥AC，又∵AC∩D1C＝C，∴BC⊥平面AD1C，∵AD1⊂面AD1C，∴AD1⊥BC.(2)由(1)知，AC，BC，D1C两两垂直，∵AB∥CD，∴∠D1DC＝，∵CD＝1，∴D1C＝.在等腰梯形ABCD中，∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴AC＝，以C为原点，CA，CB，CD1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，AB＝(－，1,0)，AD1＝(－，0，)设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y，z)，由得可得平面ABC1D1的一个法向量n＝(1，，1)．又CD1＝(0,0，)为平面ABCD的一个法向量，因此cos〈CD1，n〉＝＝，∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.4．学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B.已知甲学校执行标准A考评学生，学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天；乙学校执行标准B考评学生，学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天．假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准．(1)已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数ξ1的概率分布列如下表所示：ξ15678P0.4ab0.1且ξ1的数学期望E(ξ1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数ξ2，从该校随机选取了30名学生，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数ξ2的数学期望；(3)在(1)(2)的条件下，哪个学校的数学学习效率更高？说明理由．解：(1)由解得(2)ξ2345678频数966333P0.30.20.20.10.10.1∴E(ξ2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.(3)甲学校学生的数学学习效率＝＝；乙学校学生的数学学习效率＝＝1.92＞.∴乙学校学生的数学学习效率更高．
