第十三讲圆锥曲线的综合问题1.(2018吉林长春监测)已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,点P为双曲线左支上任一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=()A.1B.2C.4D.122.(2018湖北武汉调研)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为❑√3的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,若|NF|=4,则M到直线NF的距离为()A.❑√5B.2❑√3C.3❑√3D.2❑√23.(2018湖南益阳、湘潭调研)已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p>0),C1与C2相交于A,B两点,|AB|=8❑√55,则抛物线C2的方程为.4.(2018河南质量预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,交另一条渐近线于N,若2⃗MF=⃗FN,则双曲线的渐近线方程为.5.过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线.6.(2018广西南宁模拟)已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P(t,12)到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程;(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.7.(2018辽宁质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(1,❑√22)在椭圆上,且有|PF1|+|PF2|=2❑√2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.8.(2018河北石家庄质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2❑√23,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆C于A,B两点.(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2+y2=9,求椭圆长轴的长;(2)当b=1时,在x轴上是否存在定点T,使⃗TA·⃗TB为定值?若存在,求出定值;若不存在,请说明理由.答案精解精析1.A如图所示,延长F1H交PF2于点Q,由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,可知|PF1|=|PQ|,根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2,从而|QF2|=2,在△F1QF2中,易知OH为中位线,故|OH|=1.故选A.2.B解法一: 直线MF的斜率为❑√3,MN⊥l,∴∠NMF=60°,又|MF|=|MN|,且|NF|=4,∴△NMF是边长为4的等边三角形,∴M到直线NF的距离为2❑√3.故选B.解法二:由题意可设直线MF的方程为x=❑√33y+p2,与抛物线方程联立消去x,可得y2-2❑√33py-p2=0,解得y=-❑√33p或y=❑√3p,又点M在x轴上方,∴M(3p2,❑√3p), MN⊥l,∴N(-p2,❑√3p),∴|NF|=❑√(p2+p2)2+(0-❑√3p)2=2p.由题意知2p=4,解得p=2,∴N(-1,2❑√3),F(1,0),直线NF的方程为❑√3x+y-❑√3=0,且点M的坐标为(3,2❑√3),利用点到直线的距离公式可得M到直线NF的距离为|3❑√3+2❑√3-❑√3|❑√3+1=2❑√3.故选B.解法三:由题意可设直线MF的方程为x=❑√33y+p2,与抛物线方程联立消去x,可得y2-2❑√33py-p2=0,解得y=-❑√33p或y=❑√3p,又点M在x轴上方,∴M(3p2,❑√3p), MN⊥l,∴N(-p2,❑√3p),∴|NF|=❑√(p2+p2)2+(0-❑√3p)2=2p.由题意知2p=4,解得p=2,∴N(-1,2❑√3),F(1,0),M(3,2❑√3),设M到直线NF的距离为d,在△MNF中,S△MNF=12|NF|×d=12|MN|×yM,∴d=14×4×2❑√3=2❑√3,故选B.3.答案y2=325x解析解法一:由题意,知圆C1与抛物线C2的其中一个交点为原点,不妨记为B,设另一个交点为A(m,n).易知点A在第一象限,则m>0,n>0. |AB|=8❑√55,∴{❑√m2+n2=8❑√55,m2+(n-2)2=4,∴{m=85,n=165,即A(85,165).将A的坐标代入抛物线方程得(165)2=2p×85,∴p=165,∴抛物线C2的方程为y2=325x.解法二:由题意,知圆C1与抛物线C2的其中一个交点为原点,不妨记为B,设另一个交点为A(m,n).易知点A在第一象限,则m>0,n>0.由圆C1的性质知cos∠C1BA=|AB|2|BC1|=2❑√55,∴sin∠C1BA=❑√55,∴n=|AB|cos∠C1BA=165,m=|AB|sin∠C1BA=85,即A(85,165),将A的坐标代入抛物线方程得(165)2=2p×85,∴p=165,∴抛物线C2的方程为y2=325x.4.答案y=±❑√33x解析由题意得双曲线的渐近线方程为y=±bax,F(c,0),则|MF|=b,由2⃗MF=⃗FN,可得|MF||FN|=12,所以|FN|=2b.在Rt△OMF中,由勾股定理,得|OM|=❑√|OF|2-|MF|2=a,因为∠MOF=∠FON,所以由角平分线定理可得|OM||ON|=|MF||FN|=12,所以|ON|=2a,在Rt△...
