专题能力训练23解答题专项训练(函数与导数)1.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求a的取值范围.2.已知函数f(x)=ax2-lnx,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为1,求a的值.3.已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.(1)若a=-1,解方程f(x)=1;(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.4.已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0).(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a取(1)中最小值时,求证:g(x)-f(x)≤x3.5.(2014课标全国Ⅰ高考,文21)设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.6.已知函数f(x)=在x=1处取得极值2,设函数y=f(x)图象上任意一点(x0,f(x0))处的切线斜率为k.(1)求k的取值范围;(2)若对于任意0
0时,令f'(x)=0,又因为x>0,解得x=.当x∈时,f'(x)<0,所以函数f(x)在上单调递减.当x∈时,f'(x)>0,所以函数f(x)在上单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调减区间是(0,+∞),当a>0时,函数f(x)的单调减区间是,单调增区间为.(2)①当a≤0时,由(1)可知,f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(e)=ae2-1=1,解得a=>0,舍去.②当a>0时,由(1)可知,当≤1,即a≥1时,函数f(x)在[1,e]上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(1)=a=1,解得a=2.当1<1,则1-a<0,即<0,取x0=,此时x0∈(-∞,a),g(x0)=g=(a-1)·-a+3=1-a<0,即对任意的a>1,总能找到x0=,使得g(x0)<0,故不存在a>1,使得g(x)≥0恒成立.②若a=1,g(x)=其值域为[2,+∞),所以g(x)≥0恒成立.③若a<1,当x∈(-∞,a)时,g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞),由于a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,所以g(x)≥0成立.当x∈[a,+∞)时,由a<1,知a<,g(x)在x=处取最小值,令g=a+3-≥0,得-3≤a≤5.又a<1,所以-3≤a<1.综上,a∈[-3,1].4.解:(1)令h(x)=sinx-ax(x≥0),h'(x)=cosx-a.若a≥1,则h'(x)=cosx-a≤0,h(x)=sinx-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0,故sinx≤ax(x≥0)成立.若a<1,则至少存在一个x0∈,使得x∈(0,x0),h'(x)=cosx-a>0,h(x)=sinx-ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>h(0)=0,不合题意,舍去.综上可知,a≥1.(2)设H(x)=x-sinx-x3(x≥0),H'(x)=1-cosx-x2.令G(x)=1-cosx-x2,G'(x)=sinx-x≤0(x≥0),故G(x)=1-cosx-x2在(0,+∞)上单调递减.此时G(x)=1-cosx-x2≤G(0)=0,即H'(x)=1-cosx-x2≤0,故H(x)=x-sinx-x3(x≥0)单调递减,H(x)=x-sinx-x3≤H(0)=0.于是x-sinx-x3≤0(x≥0),即x-sinx≤x3(x≥0).5.解:(1)f'(x)=+(1-a)x-b.由题设知f'(1)=0,解得...
