4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】B2．已知两圆相交于A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为()A．－1B．1C．3D．0【解析】由题意知：直线x－y＋c＝0为线段AB的垂直平分线，且线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，所以－1＋c＝0，即m＋2c＝1.【答案】B3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5B．1C．3－5D．3＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.【答案】C4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36【解析】∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.【答案】D5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0【解析】弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.【答案】B二、填空题6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.【答案】x2＋y2－x＋y＋2＝07．与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为__________.【解析】设所求圆的圆心为P(a，b)，则＝1.①因为两圆外切，则有＝1＋2＝3，②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.【答案】(x－5)2＋(y＋1)2＝1三、解答题8．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.9．有相距100km的A，B两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A地的单位距离的运费是B地的2倍．问怎样确定A，B两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】建立以AB所在直线为x轴，AB中点为原点的直角坐标系(图略)，则A(－50,0)，B(50,0)．设P(x，y)，由2|PA|＝|PB|，得x2＋y2＋x＋2500＝0，所以在圆x2＋y2＋x＋2500＝0内到A地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2500＝0外到B地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2500＝0上到A，B两地购物一样合算．[能力提升]10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4【解析】若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2.由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值为6.【答案】B11．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．【解】(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20.∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
