高考数学 命题热点全覆盖 专题12 解三角形的方法 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题12解三角形的方法【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sinC＝5sinA，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1)(2).【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又 M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sinA+sinB)(a+b)=c·(sinC+sinB).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式，再利用余弦定理化简，可求得角的余弦值，并求得角的大小.（2）先利用余弦定理得到，利用基本不等式求得，由此求得周长的最大值.再根据三角形两边的和大于第三边，求得周长的范围.（五）三角形与三角函数综合例5．已知向量，函数.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简得出，通过配凑角的方法即可得出的值.(Ⅱ)由，结合余弦定理即可得出从而，得出B的范围即可求得的取值范围.(Ⅱ)由，得,从而得故【详解】（1）令，，解得；，；所以函数的单调递増区间为，.（2），.，，，即.由得，又由余弦定理得，解得.【...