高考小题分项练4函数与导数1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________.答案－1解析 f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为__________．答案(0，＋∞)解析令g(x)＝exf(x)－ex，∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， f(x)＋f′(x)>1，∴g′(x)>0，∴y＝g(x)在定义域上单调递增， exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3， g(0)＝3，∴g(x)>g(0)，∴x>0.3．若函数f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为__________．答案(－1，＋∞)解析设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0，又 对任意x∈R，f′(x)>2，∴F′(x)＝f′(x)－2>0，即F(x)在R上单调递增．∴F(x)>0的解集为(－1，＋∞)，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．4．若函数f(x)＝－(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是____________．答案(－∞，－1]解析由题意可知f′(x)＝－x＋2＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．5．已知函数f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．答案(－1,5)解析当a≤0时，f(x)＝x(x2－a)，f′(x)＝3x2－a≥0，因此f(x)min＝f(1)<2,1－a<2，a>－1，即－1
0时，若∈[1,2]，则f()＝0<2，满足条件，即1≤a≤4；若∉[1,2]，则f(x)min＝min{f(1)，f(2)}<2，即|a－1|<2或2|a－4|<2，解得－1e>ln2知<<，即c0.∴不等式f(x)0，－2＋3＝－，－2×3＝，b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2.10．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．答案20解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.11．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．答案2解析 函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.又 g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2.∴a＝2.12．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，...
