课时作业13空间向量与立体几何1．如图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，EF＝，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.2．[2018·浙江卷]如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．解析：(1)证明：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以A1B1＋AB1＝AA1，故AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2.由CC1⊥AC，得AC1＝，所以AB1＋B1C1＝AC1，故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，因此AB1⊥平面A1B1C1.(2)解：如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1.由C1D⊥A1B1，得C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角．由B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝，得cos∠C1A1B1＝，sin∠C1A1B1＝，所以C1D＝，故sin∠C1AD＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，B1(1,0,2)，C1(0，，1)．因此AB1＝(1，，2)，A1B1＝(1，，－2)，A1C1＝(0,2，－3)．由AB1·A1B1＝0，得AB1⊥A1B1.由AB1·A1C1＝0，得AB1⊥A1C1.所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解：设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知AC1＝(0,2，1)，AB＝(1，，0)，BB1＝(0,0,2)．设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z)．由得可取n＝(－，1,0)．所以sinθ＝|cos〈AC1，n〉|＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.3．[2018·江苏卷]如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解析：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)解：因为P为A1B1的中点，所以P，从而BP＝，AC1＝(0,2,2)，故|cos〈BP，AC1〉|＝＝＝.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)解：因为Q为BC的中点，所以Q，因此AQ＝，AC1＝(0,2,2)，CC1＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈CC1，n〉|＝＝＝.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.4．[2018·郑州市高中毕业班第一次质量预测]如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角．解析：(1)证明：由题意知AC＝2，BC＝2，AB＝6，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝，∴cos∠ABC＝＝.又易知BD＝2，∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，∴CD＝2，又AD＝4，∴CD2＋AD2＝AC2，∴CD⊥AB. 平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD， PD⊥AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，∴可建立如图所示的直角坐标系D－xyz， 直线PA与平面ABC所成的角为，即∠PAD＝，∴PD＝AD＝4，则A(0，－...
