第三节等比数列【最新考纲】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的符号表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果ɑ、G、b成等比数列，那么G叫做ɑ与b的等比中项．那么＝，即G2＝ɑb．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：ɑn＝ɑ1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝.3．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm·ɑn＝ɑp·ɑq＝ɑ.(2)通项公式的推广：ɑn＝ɑmqn－m(m，n∈N*)．(3)公比不为－1的等比数列{ɑn}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．(4)若数列{ɑn}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λɑn}，，{ɑ}，{ɑn·bn}，(λ≠0)仍是等比数列．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足ɑn＋1＝qɑn(n∈N*，q为常数)的数列{ɑn}为等比数列．()(2)G为ɑ，b的等比中项⇔G2＝ɑb.()(3)如果{ɑn}为等比数列，bn＝ɑ2n－1＋ɑ2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{ɑn}的通项公式是ɑn＝ɑn，则其前n项和为Sn＝.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．对任意等比数列{ɑn}，下列说法一定正确的是()A．ɑ1，ɑ3，ɑ9成等比数列B．ɑ2，ɑ3，ɑ6成等比数列C．ɑ2，ɑ4，ɑ8成等比数列D．ɑ3，ɑ6，ɑ9成等比数列解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则ɑm，ɑk，ɑn成等比数列．答案：D3．已知等比数列{ɑn}中，ɑ2＋ɑ3＝1，ɑ4＋ɑ5＝2，则ɑ6＋ɑ7等于()A．2B．2C．4D．4解析：因为ɑ2＋ɑ3，ɑ4＋ɑ5，ɑ6＋ɑ7成等比数列，ɑ2＋ɑ3＝1，ɑ4＋ɑ5＝2，所以(ɑ4＋ɑ5)2＝(ɑ2＋ɑ3)(ɑ6＋ɑ7)，解得ɑ6＋ɑ7＝4.答案：C4．(2015·广东卷)若三个正数ɑ，b，c成等比数列，其中ɑ＝5＋2，c＝5－2，则b＝________．解析： ɑ，b，c成等比数列，∴b2＝ɑ·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b＞0，∴b＝1.答案：15．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑn＋1＝2ɑn，Sn为{ɑn}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．解析： ɑ1＝2，ɑn＋1＝2ɑn，∴数列{ɑn}是首项为2，公比为2的等比数列．又 Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.答案：6一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式．两个防范1．由ɑn＋1＝qɑn(q≠0)，并不能断言{ɑn}为等比数列，还要验证ɑ1≠0.2．应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况致误．三种方法等比数列的三种判定方法1．定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{ɑn}是等比数列．2．通项公式：ɑn＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{ɑn}是等比数列．3．等比中项法：ɑ＝ɑn·ɑn＋2(ɑn·ɑn＋1·ɑn＋2≠0，n∈N*)⇔{ɑn}是等比数列．一、选择题1．(经典再现)设首项为1，公比为的等比数列{ɑn}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2ɑn－1B．Sn＝3ɑn－2C．Sn＝4－3ɑnD．Sn＝3－2ɑn解析：在等比数列{ɑn}中，Sn＝＝＝3－2ɑn.答案：D2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{ɑn}满足ɑ1＝3，ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝21，则ɑ3＋ɑ5＋ɑ7＝()A．21B．42C．63D．84解析： ɑ1＝3，ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴ɑ3＋ɑ5＋ɑ7＝q2(ɑ1＋ɑ3＋ɑ5)＝2×21＝42.故选B.答案：B3．已知等比数列{ɑn}的公比为正数，且ɑ3ɑ9＝2ɑ，ɑ2＝2，则ɑ1＝()A.B.C.D．2解析：由等比数列的性质得ɑ3ɑ9＝ɑ＝2ɑ， q＞0，∴ɑ6＝ɑ5，q＝＝，ɑ1＝＝.答案：C5．(2016·石家庄调研)已知各项均为正数的等比数列{ɑn}中，ɑ4与ɑ14的等比中项为2，则2ɑ7＋ɑ11的最小值为()A．16B．8C．2D．4解析： ɑ4与ɑ14的等比中项为2，∴ɑ4·ɑ14＝ɑ7·ɑ11＝(2)2＝8，∴2ɑ7＋ɑ11≥2＝2＝8，∴2ɑ7＋ɑ11的最小值为8....
