专题16导数与函数的综合问题最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).重点难点突破【题型一】导数与不等式命题点1证明不等式【典型例题】当x＞y＞e﹣1时，证明不等式：exln（1+y）＞eyln（1+x）．【解答】证明：不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）即为ex+1ln（1+y）＞ey+1ln（1+x），由x+1＞y+1＞e，即有．构造函数h（t），则h′（t），可知函数在（e，+∞）上h′（t）＞0，即函数h（x）在（e，+∞）上单调递增，由于x＞y＞e﹣1，可得x+1＞y+1＞e，即有，即为exln（1+y）＞eyln（1+x）．【再练一题】（1）证明不等式ln（1+x）＜x，x＞0（2）在数列{an}中．已知a1，且1，求数列{an}的通项公式an．【解答】解：（1）设对ϕ（x）求导，得：当x＞0时，′ϕ（x）＞0，∴ϕ（x）在（0，+∞）内是增函数．当x＞0时，ϕ（x）＞ϕ（0）＝0，即，∴同理可证ln（x+1）＜x，∴x．（2）1，等式两边取倒数得，即111﹣（）＝1，则当n≥2时，1﹣1，1，1，…1，等式两边同时相加得n﹣1﹣1n﹣1，即n﹣12+n﹣1n+1，即an，当n＝1时，a1不满足an，故an．命题点2不等式恒成立或有解问题【典型例题】已知函数f（x）＝lnx﹣x2﹣ax．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，函数f（x）＝lnx﹣x2﹣x，可得f′（x）2x﹣1，所以f′（1）＝﹣2，x＝1时，f（1）＝﹣2．曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；y+2＝﹣2（x﹣1）即：y＝﹣2x；（2）由条件可得lnx﹣x2﹣ax≤0（x＞0），则当x＞0时，a恒成立，令h（x）（x＞0），则h′（x），令k（x）＝1﹣x2﹣lnx（x＞0），则当x＞0时，k′（x）＝﹣2x0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．又k′（1）＝0，所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．所以h（x）max＝h（1）＝﹣1，所以a≥﹣1．【再练一题】已知函数f（x）alnx（a＞0）．（Ⅰ）若函数y＝f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）（x＞0）…………………………………………………… a＞0，∴当时，f′（x）取最大值，∴， a＞0，∴a＝4……………………………………………………………………∴此时f′（x），在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值点为x，无极大值点．…………（Ⅱ） f′（x），其中x＞0且a＞0，∴在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（）＝a+aln．……………………………………………………………… 关于x的不等式f（x）＜2有解，∴a+aln2， a＞0，∴0，………令g（x）＝lnx+1﹣x，∴g′（x），………………………………………在（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（1）＝0，………………………………………………………………………∴0等价于0且．∴a的取值范围是a＞0且a≠2．………………………………………………………思维升华(1)利用导数证明不等式的方法证明f(x)
