3个附加题综合仿真练(六)(理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，B＝.(1)求AB；(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．解：(1)因为A＝，B＝，所以AB＝＝.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，则＝，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则＋＝1，从而＋＝1，即x2＋y2＝8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝β，若圆C与直线l相切，求直线l的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝1，设直线l对应的直角坐标方程为y＝kx，因为圆C与直线l相切，所以d＝＝1，得到k＝±，故直线l的极坐标方程θ＝或θ＝.C．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，D为CC1上任意一点(含端点)．(1)若D为CC1的中点，求异面直线BA1与AD所成角的余弦值；(2)当点D与点C1重合时，求二面角A1BDA的正弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，易知A(0,0,0)，B(0，－2,0)，A1(0,0,2)，C1(2,0,2)，所以AB＝(0，－2,0)，BA1＝(0,2,2)．(1)若D为CC1的中点，则AD＝(2,0,1)，设直线BA1与直线AD的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，因此异面直线BA1与AD所成角的余弦值为.(2)当点D与点C1重合时，易知D(2,0,2)，则BD＝(2,2,2)，设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，则即取y＝1，解得x＝0，z＝－1，即平面A1BD的一个法向量为m＝(0,1，－1)，同理，可得平面ABD的一个法向量为n＝(－1,0,1)．设二面角A1BDA的大小为α，则|cosα|＝＝＝，因为α∈[0，π]，所以sinα＝＝，因此二面角A1BDA的正弦值为.3．已知数列{an}满足：a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋.(1)求证：当n≥2时，an≥2；(2)利用“∀x＞0，ln(1＋x)＜x”，证明：an＜2e(其中e是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a2＝×1＋＝2，故当n＝2时，a2＝2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即ak≥2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＞2.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对所有n≥2，an≥2成立.(2)当n≥2时，由递推公式及(1)的结论有an＋1＝an＋≤an(n≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x)＜x，得lnan＋1≤ln＋lnan＜lnan＋＋，故lnan＋1－lnan＜＋(n≥2)，求和可得lnan－lna2＜＋＋…＋＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋·＝－＋－<.由(1)知，a2＝2，故有ln＜，即an＜2e(n≥2)，而a1＝1＜2e，所以对任意正整数n，有an＜2e.
