高三文科数学大题小练5:数列及解析几何(教师版)1.已知各项均为正数的数列的前项和满足,(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)求证:【解析】(1),由,解得或,∵,∴.(2)∵,∴,或,∵,∴,∴是以为首项,公差为的等差数列,∴的通项为.(3)从而,有2.已知数列满足,(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式(2)求证:【解析】(1)∵,,两边取对数得,∴,∴是以为首项,以2为公比的等比数列,∴,∴,∴.(2)由(1),得数列是等是以为首项,以2为公比的等比数,所以其前项和为而从而,有3.已知,,直线与相交于点,且它们的斜率之积为(1)求点的轨迹方程,并判断轨迹的形状(2)若,点到直线的距离为,问是否存在正常数,使成立?若存在,求出这个常数;若不存在,求出这个常数.【解析】(1)设,则,,其中,,即所以点的轨迹方程为其轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线(除去A与B两点)(2)假设存在正常数,使成立设,则由(1),得,即若,则,所以故存在存在正常数,使成立4.已知点为抛物线内一点,为抛物线上任意一点,为抛物线的焦点,并且的最小值为.椭圆的一个焦点为,离心率为(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;(2)直线:与椭圆有两个不同的交点与,为坐标原点,若的面积为,求直线的方程【解析】(1)设到抛物线的准线的距离为,到抛物线的准线的距离为则由抛物线的定义知:的最小值为,,即,所以抛物线的方程为抛物线的焦点为,椭圆的一个焦点为,,,即椭圆的方程为(2)由,得椭圆与直线有两个不同的交点∴,解得设,,则,,原点到直线的距离为的面积为,,解得或所以直线的方程为或或或