【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章坐标系学业分层测评1直角坐标系、平面上的伸缩变换新人教A版选修4-4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】 M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．【答案】A2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解析】由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．【答案】C3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解析】|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．【答案】A4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π【解析】设P点的坐标为(x，y)， |PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.【答案】B5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos2x按伸缩变换后为()A．y′＝cosx′B．y′＝3cosx′C．y′＝2cosx′D．y′＝cos3x′【解析】由得代入y＝cos2x，得＝cosx′，∴y′＝cosx′.【答案】A二、填空题6．若点P(－2016,2017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.【解析】 P(－2016,2017)经过伸缩变换得代入x′y′＝k，得k＝－1.【答案】－17．将点P(2,3)变换为点P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.【导学号：91060002】【解析】设伸缩变换为由解得∴【答案】8．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________．【解析】设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．【答案】(0,0)三、解答题9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．(1)x2－y2＝1；(2)＋＝1.【解】由伸缩变换得①(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图甲所示．(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图乙所示．10．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处．求城市B处于危险区内的时间．【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1h.[能力提升]1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为()A．25x2＋36y2＝0B．9x2＋100y2＝0C．10x＋24y＝0D.x2＋y2＝0【解析】将代入2x′2＋8y′2＝0，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝0，即：25x2＋36y2＝0.【答案】A2．如图111，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()图111A.ABB.BCC.CDD.DA【解析】如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在AD上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为DA.【答案】D3．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足OM＝mOA＋nOB，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．【解析】设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.【答案】－y2...
