专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.2.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.6003.设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>05.在等比数列{an}中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.C.-D.56.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.7.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列的通项公式an=.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=.9.(2018全国Ⅲ,文17)在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.10.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.11.设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.二、思维提升训练12.已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2,n∈N*,则数列{}的前10项的和为()A.(49-1)B.(410-1)C.(49-1)D.(410-1)13.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+等于()A.1-B.C.1-D.14.如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn}是等差数列B.{}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{}是等差数列15.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为.16.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求+…+.17.若数列{an}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有an·Sn=2n3-n2.(1)求数列{an}的通项公式.(2)是否存在数列{bn},使得数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C解析 a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.2.B解析由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得a1+a20=30,故S20==300.3.A解析设公比为q, an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1.又a1=2,∴S101==2.4.B解析设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d. a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0. d≠0,∴a1d=-d2<0,且a1=-d. dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.5.D解析由条件知=5,故a1-a2+a3-a4+a5==5.6.6解析 an+1=2an,即=2,∴{an}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴Sn==126.∴2n=64,∴n=6.7.2n解析 =a10,∴(a1q4)2=a1q9,∴a1=q,∴an=qn. 2(an+an+2)=5an+1,∴2an(1+q2)=5anq,∴2(1+q2)=5q,解得q=2或q=(舍去),∴an=2n.8.解析由题意知解得xz=y2=y2,x+z=y,从而-2=-2=.9.解(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.10.解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.11.解(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.所以an=(n≥2).又由题设可得a1=2,从而{an}的通项公式为an=.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知,则Sn=+…+.二、思维提升训练12.D解析由a1=1,an+1-an=2,得an=2n-1.由=2,b1=1得bn=2n-1.则=22(n-1)=4n-1,故数列{}前10项和为(410-1).13....
