课后限时集训(三十九)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.B[建立空间直角坐标系如图．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.]2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等边三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，C1F＝CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为()A.B.C.D.D[以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知A1(4,0,6)，E(2,2，3)，F(0,0,4)，A(4,0,0)，∴A1E＝(－2,2，－3)，AF＝(－4,0,4)．设异面直线A1E与AF所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为.故选D.]3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°A[由已知AB2＋BC2＝AC2，得AB⊥BC.以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以ED＝，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，cos〈ED，n〉＝＝＝，〈ED，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.]4.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角BACM的余弦值为()A.B.C.D.A[因为BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC，又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，M，所以AC＝(1,2,0)，AM＝，求得平面AMC的一个法向量为n＝(－2,1,1)，又平面ABC的一个法向量AP＝(0,0,2)，所以cos〈n，AP〉＝＝＝＝.所以二面角BACM的余弦值为.]5．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1DCC1的大小为60°，则AD的长为()A.B.C．2D.A[如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)．设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)．由得令z＝－1，则m＝(a,1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，解得a＝，所以AD＝.故选A.]二、填空题6.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．60°[以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.]7．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．[以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.]8．(2019·汕头模拟)在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是________．[如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知AD＝是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的一个法向量n＝(x，y，z)，因为SD＝，DC＝，所以n·SD＝0，n·DC＝0，即－z＝0，＋y＝0.令x＝2，则有y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1,1)．设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝三、解答题9.(2019·陕西模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝AB，∠ABC＝90°，...
