高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第83讲 极坐标方程与参数方程的综合应用练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第83讲极坐标方程与参数方程的综合应用1．(2018·大庆模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝.(1)将曲线C和直线l化为直角坐标方程；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．(1)由得＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.由ρsin(θ＋)＝，得ρ(sinθcos＋cosθsin)＝，化简得，ρsinθ＋ρcosθ＝2，所以x＋y＝2.所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.(2)(方法一)由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为(cosθ，sinθ)，点Q到直线l的距离为d＝＝.当cos(θ－)＝－1时，dmax＝＝2.所以点Q到直线l的距离的最大值为2.(方法二)设与直线l平行的直线l′的方程为x＋y＝m，由消去y得4x2－6mx＋3m2－3＝0，令Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－3)＝0，解得m＝±2.所以直线l′的方程为x＋y＝－2，即x＋y＋2＝0.所以两条平行直线l与l′之间的距离为d＝＝2.所以点Q到直线l的距离的最大值为2.2．(经典真题)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，则tant＝，t＝.故D的直角坐标为(1＋cos，sin)，即(，)．3．(2018·赤峰一模)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得A(1,0)，B(，－)，所以|AB|＝1.(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标为(cosθ，sinθ)，从而P到直线l的距离是d＝＝[sin(θ－)＋2]．由此可知当sin(θ－)＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.5．(2017·福州市毕业班综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值．(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12化为直角坐标方程，得＋＝1，则左焦点F(－2，0)，所以m＝－2，将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程＋＝1联立，化简可得t2－2t－2＝0，由直线l的参数方程的几何意义，令|AF|＝|t1|，|BF|＝|t2|，则|AF|·|BF|＝|t1t2|＝2.(2)由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)(0<θ<)，则以P为顶点的内接矩形周长为4×(2cosθ＋2sinθ)＝16sin(θ＋)，因此，当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.6．(2018·佛山一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，曲线C的参数方程为(β为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M，N两点(异于原点)，求|OM|＋|ON|的最大值．(1...