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高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第83讲 极坐标方程与参数方程的综合应用练习 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

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第83讲极坐标方程与参数方程的综合应用1.(2018·大庆模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).以点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=.(1)将曲线C和直线l化为直角坐标方程;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.(1)由得+y2=1,所以曲线C的直角坐标方程为+y2=1.由ρsin(θ+)=,得ρ(sinθcos+cosθsin)=,化简得,ρsinθ+ρcosθ=2,所以x+y=2.所以直线l的直角坐标方程为x+y=2.(2)(方法一)由于点Q是曲线C上的点,则可设点Q的坐标为(cosθ,sinθ),点Q到直线l的距离为d==.当cos(θ-)=-1时,dmax==2.所以点Q到直线l的距离的最大值为2.(方法二)设与直线l平行的直线l′的方程为x+y=m,由消去y得4x2-6mx+3m2-3=0,令Δ=(6m)2-4×4×(3m2-3)=0,解得m=±2.所以直线l′的方程为x+y=-2,即x+y+2=0.所以两条平行直线l与l′之间的距离为d==2.所以点Q到直线l的距离的最大值为2.2.(经典真题)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,].(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cost,sint),由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,则tant=,t=.故D的直角坐标为(1+cos,sin),即(,).3.(2018·赤峰一模)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得A(1,0),B(,-),所以|AB|=1.(2)C2的参数方程为(θ为参数),故点P的坐标为(cosθ,sinθ),从而P到直线l的距离是d==[sin(θ-)+2].由此可知当sin(θ-)=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1).4.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.5.(2017·福州市毕业班综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,其左焦点F在直线l上.(1)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的值;(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值.(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12化为直角坐标方程,得+=1,则左焦点F(-2,0),所以m=-2,将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程+=1联立,化简可得t2-2t-2=0,由直线l的参数方程的几何意义,令|AF|=|t1|,|BF|=|t2|,则|AF|·|BF|=|t1t2|=2.(2)由曲线C的方程+=1,可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)(0<θ<),则以P为顶点的内接矩形周长为4×(2cosθ+2sinθ)=16sin(θ+),因此,当θ=时,可得该内接矩形周长的最大值为16.6.(2018·佛山一模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),曲线C的参数方程为(β为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设C与l交于M,N两点(异于原点),求|OM|+|ON|的最大值.(1...

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