6.1.4数乘向量一、选择题1．点C在直线AB上，且AC＝3AB，则BC等于()A．－2ABB.ABC．－ABD．2AB解析：如图，AC＝3AB，所以BC＝2AB.答案：D2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.C．－1或4D．3或4解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.答案：A3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.答案：C4.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.答案：D二、填空题5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.解析：由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.答案：26．点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析：因为C在线段AB上，且＝，所以AC与AB方向相同，BC与AB方向相反，且＝，＝，所以AC＝AB，BC＝－AB.答案：－7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.答案：±三、解答题8．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．解析：(1)证明：因为AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.所以AB，BD共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1.9．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设BC＝a，DA＝b，试用a，b表示EF.解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.在△ABC中，EP是中位线，所以PE＝BC＝a.在△ABD中，FP是中位线，所以PF＝AD＝－DA＝－b.在△EFP中，EF＝EP＋PF＝－PE＋PF＝－a－b＝－(a＋b)．[尖子生题库]10．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)·OB＝OB＋m(OA－OB)，∴OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，∴BP与BA共线．又∵BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA，∴OP－OB＝λ(OA－OB)．又OP＝mOA＋nOB，故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，∴∴m＋n＝1.
