专题能力训练10等差数列、等比数列一、选择题1.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为()A.4B.6C.8D.102.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.C.D.3.等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S144.(2014陕西高考,文4)根据下边框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()A.an=2nB.an=2(n-1)C.an=2nD.an=2n-15.一个正整数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):第1行1第2行23第3行4567……则第9行中的第4个数是()A.132B.255C.259D.2606.已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列(n∈N*).对于函数y=f(x),若数列{lnf(an)}为等差数列,则称函数f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=,②f(x)=x2,③f(x)=ex,④f(x)=,则为“保比差数列函数”的所有序号为()A.①②B.③④C.①②④D.②③④二、填空题7.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则=.8.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.9.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n∈N*),若数列{bn}有连续四项在集合{-1,5,-7,12,17}中,则q=.三、解答题10.已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.11.已知数列{an}(n∈N*)是首项为a,公比为q≠0的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,已知12S3,S6,S12-S6成等比数列.问当公比q取何值时,a1,2a7,3a4成等差数列.12.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,Sn为其前n项和,且满足S2n-1=,n∈N*.(1)求{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=Tn为数列{bn}的前n项和,求T2n.答案与解析专题能力训练10等差数列、等比数列1.C解析:由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,解得a6=16.所以a7-a8==8.故选C.2.B解析:因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1,得3Sn=2Sn+1,所以,所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首项,公比q=的等比数列,所以Sn=,选B.3.C解析:由a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.4.C解析:由程序框图可知a1=2×1=2,a2=2×a1=2×2=4,a3=2a2=2×4=8,…,因此在{an}中满足a1=2,an=2an-1.所以{an}是首项和公比均为2的等比数列,故an=2·2n-1=2n,故选C.5.C解析:依题意,知前8行共有1+2+4+…+27==255个数,同时255也是第8行的最后一个数,故第9行中的第4个数为259.6.C解析:对于①,lnf(an)=ln=-lnan=-ln(a1qn-1)=-lna1-(n-1)lnq为等差数列,故①是,B,D均错;对于④,lnf(an)=lnln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq为等差数列,故④是,A错,故选C.7.4解析:显然公比q≠1,设首项为a1,则由S3+3S2=0,得=-3×,即q3+3q2-4=0,即q3-q2+4q2-4=q2(q-1)+4(q2-1)=0,即(q-1)(q2+4q+4)=0,所以q2+4q+4=(q+2)2=0,解得q=-2,所以=q2=4.8.解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值,∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大.又∵当且仅当n=8时,Sn取最大值,∴解得-1≤d<-.9.-2解析:易知{an}有四项在集合{-2,4,-8,11,16}中,四项-2,4,-8,16成等比数列,公比为-2.10.(1)证明:因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=,所以当n≥2时,bn-bn-1==1.又b1==-,所以数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列.(2)解:由(1)知,bn=n-,则an=1+=1+.设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间内均为减函数,所以当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.11.解:由题意可知,a≠0.(1)当q=1时,则12S3=36a,S6=6a,S12-S6=6a,此时不满足条件12S3,S6,S12-S6成等比数列;(2)当q≠1时,则12S3=12×,S6=,S12-S6=,由题意,得12×,化简整理,得(4q3+1)(3q3-1)(1-q3)(1-q6)=0,解得q3=-,或q3=,或q=-1.当q=-1时,a1+3a4=-2a,2a7=2a,∴a1+3a4≠2(2a7),不满足条件;当q3=-时,a1+3a4=a(1+3q3)=,2(2a7)=4aq6=,即a1+3a4=2(2a7),所以当q=-时,满足条件.当q3=时,a1+3a4=a(1+3q3)=2a,2(2a7)=4aq6=,∴a1+3a4≠2(2a7),从而当q3=时,不满足条件.综上,当q=-时,使得a1,2a7,3a4成等差数列.12.解:(1)设{an}首项为a1,公差为d,在S2n-1=中,令n=1,2,得解得a1=2,d=4或d=-2(舍去).∴an=4n-2.(2)由(1)得bn=∴T2n=1+2×2-3+22+2×4-3+24+…+22n-2+2×2n-3=1+22+24+…+22n-2+4(1+2+…+n)-3n=+4·-3n=+2n2-n.
