上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第4讲 应用能力型问题（7）泸科版VIP专享VIP免费

上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第4讲应用能力型问题(7)（二）上海高考1．（1996年）在如图2—12所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程为y=ax2＋c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间.（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；（2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内?并说明理由.解：（1）由点A的坐标为（0，9）得c=9，即轨迹方程为y＝ax2＋9，令y=0，得ax2＋9＝0，x2＝－a9.由题意，6＜a9＜7，解得：49941a.（2）若物体又经过点P（2，8.1），则8.1=4a+9，解得a=409.因为49940941a.所以物体能落在D内.2．（1997年）公园要建造一个圆形的水池．在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，25.1OA米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿开关相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水面最大高度25.2米．如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？解：如图建立直角坐标系，则水流所呈现的抛物线方程为25.212xay，由题意，点A的坐标为)25.1,0(，把0x和25.1y代入上述方程，得1a，于是用心爱心专心水面OAxOAy抛物线方程为25.212xy，令0y，得025.212x，解得5.21x，5.02x（不合题意，舍去）．所以，水池半径至少要5.2米，才能使水流不落到池外．3．（1998年）某物体一天中温度T是时间t的函数：dctbtattT23)(（0a),其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，0t表示00:12,t取正值表示00:12以后，若测得该物体在00:8的温度为8℃，00:12的温度为60℃，00:13的温度为58℃，且已知该物体的温度在00:8和00:16有相同的变化率．（1）写出该物体的温度关于时间t的函数关系式；（2）该物体在00:10到00:14这段时间中（包括00:10和00:14），何时温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数)(xf在],[21xx（21xx）上函数值的平均为21)(112xxdxxfxx，求该物体在00:8到00:16这段时间内的平均温度．解：（1）根据条件可得60)0(T，8)4(T，58)1(T，)4()4(TT，则60d，0b，1a，3c．因此，温度函数603)(3tttT．（2）)1)(1(333)(2ttttT，当)2,1()1,2(t时，0)(tT；当)1,1(t时，0)(tT．因此，函数)(tT在)1,2(上单调递增，在)1,1(上单调递减，在)2,1(上单调递增，即1t是极大值点．由于62)2()1(TT，所以在00:10到00:14这段时间中，该物体在00:11和00:14的温度最高，最高温度为62℃．（3）根据定义，平均温度为444436060381)()4(41dtttdttT．即该物体在00:8到00:16这段时间内的平均温度为60℃．用心爱心专心4．（1999年）平地上有一条沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深5.1米，沟中水深1米．（1）求水面宽；（2）如图所示开关的几何体称为柱体．已知柱体的体积为底面积乘以高．问沟中的水有多少立方米？（3）若要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽多少米时，所挖的土最少？解：（1）如图，建立直角坐标系．设抛物线的方程为2axy．则由抛物线过点23,1，得23a，于是抛物线方程为223xy．当1y时，36x，由此，水面宽为362米．（2）水的体积9640023110023602dxxV，故沟中有96400立方米的水．（3）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．设切点223,ttP（10t）是抛物线弧OB上的一点，过P作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为：2223323)(3ttxttxty，于是0,21tC，23,121ttD．记梯形OCDE的面积为S，则ttS2143，10t，用心爱心专心OABDBAyxOPCE当22t时，S取到最小值，此...