第3讲圆锥曲线的综合问题(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线综合问题1定点、定值问题2,3探索性问题4取值范围问题51.(2018·广西柳州市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2为椭圆的左右焦点,P为椭圆短轴的端点,△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:(1)由题意,解得a=2,b=c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t).即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.d=,又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,AB与圆x2+y2=2相切.2.(2018·岳麓区校级二模)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线C于点A,B和点C,D,线段AB,CD的中点分别为M,N.(1)求线段AB的中点M的轨迹方程;(2)过M,N的直线l是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.解:(1)由题设条件得焦点坐标为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0,联立得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,Δ=[-2(2+k2)]2-4k2·k2=16(1+k2)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则xM=(x1+x2)=1+,yM=k(xM-1)=,所以2(xM-1)=,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=2(x-1)(x>1).(2)过定点,理由:由(1)知,同理,设N(xN,yN),则当k≠±1时,可知直线l的斜率为k′==,所以直线l的方程为y+2k=(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,①当x=3,y=0时方程①对任意的k(k≠±1)均成立,即直线l过定点(3,0).当k=±1时,直线l的方程为x=3.综上所述,过M,N的直线l必过定点(3,0).3.(2018·广东省海珠区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C的焦距为2,且过点A(2,1),所以+=1,2c=2.因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,由消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则x1+x2=-,x1x2=,因为kPA+kAQ=0,即=-,化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.代入得--4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以k=或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意,所以直线PQ的斜率为定值,该值为.4.(2018·临沂二模)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线y=kx+4(k>0)交抛物线于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求抛物线方程;(2)若AF,BF的延长线与抛物线交于C,D两点,设直线CD的斜率为k′,证明为定值,并求出该定值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由可得x2=2p(kx+4),即x2-2pkx-8p=0,显然Δ=4p2k2+32p>0且x1+x2=2pk,x1x2=-8p,所以y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以-8p+16=0,解得p=2,所以抛物线方程为x2=4y.(2)由(1)可知F(0,1),设C(x3,y3),D(x4,y4),所以kAF=,kCF=,所以=,因为=4y1,=4y3,所以x3-4x3=x1-4x1,即(x1x3+4)(x1-x3)=0,因为x1≠x3,所以x1x3=-4,同理可得x2x4=-4,所以kCD====(--)=-=-=,所以==.5.(2018·南昌市一模)已知椭圆+=1(a>b>0),连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形为正方形,正方形的边长为.(1)求椭圆的方程;(2)设C(m,0),过焦点F(c,0)(c>0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于A,B两点,使得(+)⊥,求实数m的取值范围.解:(1)由椭圆的定义及题意得a=,b=c=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)得F(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),代入+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,x0=,y0=.因为+=2,所以⊥,所以kCM×k=×k=-1,所以-m+×k=0,m==∈(0,),所以实数m的取值范围是(0,).
