限时速解训练十正、余弦定理及解三角形(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在△ABC中，已知A＝，BC＝3，AB＝，则C＝()A.或B.C.D.或解析：选B.由正弦定理＝，即sinC＝，因为0＜C＜π，所以C＝或C＝，因为c＝＜a＝3，所以C＜，则C＝，故选B.2．已知△ABC的三边分别为4,5,6，则△ABC的面积为()A.B.C.D.解析：选B.设a＝6，b＝5，c＝4，则由余弦定理得cosA＝＝，所以sinA＝＝，S△ABC＝×5×4×＝.3．(2016·山西朔州一模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.由于sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，结合正弦定理可知，a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13，由于cosC＝＝＜0，∴C为钝角，故△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A等于()A.B.C.D.解析：选D.由题意得c＝2b，cosA＝＝＝，∴A＝.5．(2016·湖南常德调研)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析：选B.由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcosB，即()2＝22＋AB2－2×2AB·cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝.6．(2016·江西上饶一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.解析：选B.由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.7．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2kmB．3kmC．3kmD．2km解析：选B.画出示意图如图所示，由条件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3.8．(2016·河北衡水中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝5bsinC且cosA＝5cosBcosC，则tanA的值为()A．5B．6C．－4D．－6解析：选B.由正弦定理及已知得sinA＝5sinBsinC，①又cosA＝5cosBcosC，②由②－①得cosA－sinA＝5(cosBcosC－sinBsinC)＝5cos(B＋C)＝－5cosA，∴sinA＝6cosA，∴tanA＝6，选B.9．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(，)B．(1，)C．(，2)D．(0,2)解析：选B. B＝2A，∴sinB＝sin2A，∴sinB＝2sinAcosA，∴b＝2acosA，又 a＝1，∴b＝2cosA， △ABC为锐角三角形，∴0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜，即0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－A－2A＜，∴＜A＜，∴＜cosA＜，∴1＜2cosA＜，∴b∈(1，)．10．(2016·北京东城一模)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝3，则BC＝()A．5B.或C.D.解析：选D.由S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×4×sin∠BAC＝3，得sin∠BAC＝，因为△ABC为锐角三角形，所以∠BAC∈，故∠BAC＝，在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝42＋32－2×4×3×cos＝13.所以BC＝，故选D.11．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，则角B为()A.B.C.D.解析：选B.因为acosC＋c＝b，所以sinAcosC＋·sinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinC＝cosAsinC，因为sinC≠0，所以cosA＝，因为A为△ABC的内角，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，知1＝b2＋c2－bc，联立解得c＝，b＝1，由＝，得sinB＝＝＝， b＜c，∴B＜C，则B＝，故选B.12．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2018c2，则的值为()A．0B．1C．2017D．2018解析：选C.＝＝＝＝·cosC＝·＝＝＝2017，故选C.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，那么＝________.解析：由正弦定理得＝＝＝.答案：14．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a...
