专题22数列的概念与表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数热点题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式例1、【2017课标3，理14】设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.【答案】【变式探究】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)，，，，，…；(3)，2，，8，，…；(4)5,55,555,5555，…。解析：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)。(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积。知所求数列的一个通项公式为an＝。(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察。即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝。(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)。【提分秘籍】用观察法求数列的通项公式的方法(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。【举一反三】下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝C．an＝2－D．an＝解析：由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。答案：C热点题型二由an与Sn的关系求通项an例2、已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。(1)Sn＝2n2＋3n。(2)Sn＝3n＋1。(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1。当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝【提分秘籍】已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1。(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式。(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。【举一反三】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为__________。热点题型三由递推关系式求通项公式例3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an。解析：(1) an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1。(2) an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1。以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝。(3) an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)。当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋。【提分秘籍】由递推关系式求通项公式的类型与方法①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解。【举一反三】(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝__________。(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2。答案：(1)A(2)2。热点题型四数列的性质及其应用例4、(1)已知an＝，那么数列{an}是()A．递减数列B．递增数列C．常数列D．摆动数列(2)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列...
