专题十九平面向量的数量积及其应用考点42平面向量的数量积考场高招1三大方法(定义法、坐标法、转化法)解决平面向量数量积问题1.解读高招方法解读适合题型典例指引定义法利用定义式a·b=|a|·|b|cosθ求解.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解一般通过具体的图形来确定适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题典例导引1(1)坐标法利用坐标式a·b=x1x2+y1y2解题.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要建立平面直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题典例导引1(2)转化法求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,再进行计算适用于直接求解不易,而转化为其他向量的数量积的有关计算问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)(2017届山西临汾一中等五校三联)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=3,||=1,则的值为()A.1B.2C.3D.4(2)在菱形ABCD中,对角线AC=4,E为CD的中点,则=()A.8B.10C.12D.14(3)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则的值是()A.-B.-C.-D.-(2)(坐标法)特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为2,以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,2),E(,2).所以=(2,2),=(,2).所以=2+2×2=12.故选C.(3)(转化法) =2,r=1,∴||==()·()=·()+=+0-1=-,故选B.【答案】(1)C(2)C(3)B3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理3)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5【答案】A |a+b|=,∴(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.① |a-b|=,∴(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.②由①②可得a·b=1.故选A.2.(2013课标Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.【答案】2高手解惑典题(2017四川资阳一诊)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且满足+2+4=0,则=()A.-B.-C.D.考生困惑：感觉所求的无法和已知条件联系到一起.如何将已知条件+2+4=0通过转化得到所求的,采用什么运算方式达到转化目的是困惑点.解惑绝招：第一步:明确转化法分析已知条件含有三个向量,观察所求,联系到,代入所求=()·,问题可以转化为求,这一步体现了利用“转化法”的指导作用.第二步:借助平方技巧如何将已知+2+4=0进行转化,达到消去的目的是解题的关键.将已知变形为2=-4,借助两边平方技巧,既能达到消去的目的,又能得到,胜利就在眼前!第三步:回扣条件顺利求解利用△ABC的外接圆半径为1,即||=||=||=1,化简第二步得到的等式,顺利求解.【解析】由+2+4=0,得2=-4,两边平方,得4+4=16.因为△ABC的外接圆半径为1,所以||=||=||=1.所以4+1+4=16.所以.所以=()·-1=.故选C.考场高招2求向量a在向量b方向上的投影的方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引定义法a在b方向上的投影为|a|cos
能够明确向量夹角典例导引2(2)数量积法a在b方向上的投影为能够明确向量的数量积典例导引2(1)2.典例指引2(1)(2017辽宁葫芦岛第二次考试)已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量-a方向上的投影为()A.0B.1C.2D.-1(2)圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为【答案】(1)D(2)33.亲临考场1.(2016陕西西安质检)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为()A.3B.-3C.-D.【答案】B由a⊥(a+b)得a·(a+b)=0,即a2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.2.(2017江西抚州七校联考)在Rt△AOB中,=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若,则向量在向量方向上的投影为()A.B.1C.1或D.【答案】D因为•=0,所以OA⊥OB,|AB|=5,S△OAB=·AB·OD=·OA·OB.所以OD==2.因为=||·||·cos∠DEA=,所以||·||=.所以(2-||)·||=,即||=或||=.故选D.考点43平面向量的长度与角度考场高招3平面向量基本定理的应用方法1.解读高招步骤解读1由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积2分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系3根据公式cos=(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))求解这两个向量夹角的余弦值4根据两个向量夹角的范围为[0,π]及其余弦值,求出这两个向量的夹角2.典例指引3(1)(2017河北唐山期末)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cosθ=()A.-B.C.D.-(2)若a,...
