核心素养测评六十三排列、组合与二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.85B.56C.49D.28【解析】选C.分两类:甲、乙中只有1人入选且丙没有入选;甲、乙均入选且丙没有入选,计算可得所求选法种数为+=49.2.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【解析】选D.由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为··=36(种).【一题多解】选D.··=3××2=36(种).3.甲、乙、丙、丁、戊5个人去某景区游玩,已知该景区仅有A、B两个景点,若这两个景点都必须有人去游玩且每人只能游玩一个景点,则所有的情况有()A.15种B.30种C.45种D.60种【解析】选B.依题意,所有的情况有·=30(种).4.(+)100的展开式中,无理数项的个数是()A.84B.85C.86D.87【解析】选A.(+)100展开式的通项为1Tr+1=()100-r·()r=·×,r=0,1,2,…,100,所以当r是6的倍数时,Tr+1为有理项,所以r=0,6,12,…,96,共17项,因为展开式共有101项,所以展开式中无理项的个数是101-17=84.【变式备选】在的展开式中,x2的系数为________.【解析】的展开式中,通项公式为Tr+1=(2x)5-r=(-1)r25-r,令5-r=2,解得r=2,所以x2的系数=23=80.答案:805.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种【解析】选B.若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有·=20种选法,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有·=30种选法,所以共有20+30=50种.2【变式备选】第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国元首的安全,将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有()A.96种B.100种C.124种D.150种【解析】选D.因为三个区域每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,有两种分组的情况:一种是1,1,3,另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时,共有N1=·=60(种),当按照1,2,2来分时,共有N2=·=90(种),根据分类加法计数原理知N=N1+N2=150种.6.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是()A.15x3B.20x3C.21x3D.35x3【解析】选B.在(1+x)n=a0+a1x+…+anxn中,令x=1得2n=a0+a1+a2+…+an;令x=0,得1=a0,所以a1+a2+…+an=2n-1=63,所以n=6.而(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.【变式备选】已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为()A.39B.310C.311D.312【解析】选D.由题意得,因为(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,两边同时求导,可得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4+…+9a9=9,3又(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8+9a9)·(a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7-8a8+9a9)=310×9=312.7.在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种【解析】选C.根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有=2种结果,又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看成一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有=48种结果,根据分步乘法计数原理知共有2×48=96种结果.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)【解析】恰有1位女生,有=12种,恰有2位女生,...
