选择题“瓶颈”突破练1．已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中OA·OB＝0，存在实数λ，μ满足OC＋λOA＋μOB＝0，则实数λ，μ的关系为()A．λ2＋μ2＝1B.＋＝1C．λμ＝1D．λ＋μ＝1解析：法1：取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时由平面向量基本定理易得λ＝μ＝，只有A符合．法2：依题意得|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，－OC＝λOA＋μOB，又OA·OB＝0，两边平方得1＝λ2＋μ2.答案：A2．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝sinB，则其最小内角的余弦值为()A．－B.C.D.解析：sinC＝sinB，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，则c＝2a.角A是△ABC的最小内角，则cosA＝＝＝.答案：C3．已知函数f(x)＝＋loga(7－x)(a＞0，a≠1)的图象恒过点P，若双曲线C的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，且点P在双曲线C上，则双曲线C的方程为()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：由已知可得P(6，)，因为双曲线的一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，故可设双曲线方程为x2－(3y)2＝λ，即x2－9y2＝λ，由P(6，)在双曲线上可得62－9×()2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为－y2＝1.答案：A4．设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，若(a2－1)3＋(a2－1)＝2019，(a2018－1)3＋(a2018－1)＝－2019，则S2019＝()A．0B．2C．2019D．4038解析：设f(x)＝x3＋x，易知f(x)在R上的奇函数，且单调递增．又f(a2－1)＝2019，f(a2018－1)＝－2019，所以a2－1＋a2018－1＝0，则a1＋a2019＝a2＋a2018＝2.故S2019＝＝2019.答案：C5．已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为()A.B．2C.D．2解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝90°.所以小圆O1是以AB为直径的圆，则O1A＝，且OO1⊥AO1.又球O的直径PA＝4，所以OA＝2.则OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC.故点P到平面ABC的距离为2OO1＝2.答案：B6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，且g＝g，则φ的取值为()A.B.C.D.解析：因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．因为将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin＝2sin.又因为g＝g.所以x＝为函数g(x)图象的一条对称轴．所以2×＋φ－＝＋kπ，则φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，取k＝0，得φ＝.答案：C7．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的中心为O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积比为1∶4，则C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±3x解析：依题可知△AOB与△MON相似，由三角形面积比等于相似比的平方，得＝，所以＝2，即＝4，所以＝.所以C的渐近线方程为y＝±x.答案：B8．已知函数f(x)＝，则()A．f(x)有1个零点B．f(x)在(0，1)上为减函数C．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称D．f(x)有2个极值点解析：显然f(x)≠0，A错误；由f′(x)＝知，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(0，1)上是减函数，则B正确．又f(3)＋f(－1)＝－(1＋e－1)＝≠0，所以g＝f(x)不关于点(1，0)对称，故C错误．数形结合，易知f′(x)＝0，方程只有一个实根，故f(x)最多有一个极值点，D错误．答案：B9．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为()A.B.C．1－D.解析：易知AC2＝AB2＋BC2，则△ABC是以B为直角的直角三角形，所以S△ABC＝×AB×BC＝×5×12＝30.又分别以A、B、C为圆心，以2为半径与△ABC相交的三个扇形的面积S＝×22×π＝2π.所以所求事件的概率P＝1－＝1－＝1－.答案：C10．(2019·湖南师大附中模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A、C∈α，点B、D∈β，且A、B、C、D∉l，点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是()A．当|CD|＝2|AB|时，M、N不可能重合B．M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当...
