第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号异面直线所成角2,9直线与平面所成角3,6,7,10二面角1,4,11,12,13,14点点距、点面距5,8基础巩固(时间:30分钟)1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(C)(A)45°(B)135°(C)45°或135°(D)90°解析:cos===,即=45°.所以两平面所成二面角为45°或135°.2.(2017·河北秦皇岛模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,0,1),D1(0,0,2).所以=(0,-1,1),=(0,-1,2),所以cos<,>===.3.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(A)1(A)(B)(C)(D)解析:因为AB=1,AC=2,BC=,AC2=BC2+AB2,所以AB⊥BC.因为三棱柱为直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.以B为原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(0,1,0),C(,0,0).设B1(0,0,a),则C1(,0,a),所以D(,,),E(0,0,),所以=(-,-,0),平面BB1C1C的法向量=(0,1,0).设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α,则sinα=|cos<,>|=,所以α=.4.导学号38486171如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M为PB的中点,PA=AD=2.若AB=1,则二面角BACM的余弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为BC⊥平面PAB,所以PA⊂平面PAB,PA⊥BC,又PA⊥AB,且BC∩AB=B,所以PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),B(1,0,0),2M(,0,1),所以=(1,2,0),=(,0,1),求得平面AMC的一个法向量为n=(-2,1,1),又平面ABC的一个法向量=(0,0,2),所以cos====.所以二面角BACM的余弦值为.5.在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1DCC1的大小为60°,则AD的长为(A)(A)(B)(C)2(D)解析:如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z).由得令z=-1,则m=(a,1,-1).又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=,得=,解得a=,所以AD=.故选A.6.(2017·河南郑州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为(B)3(A)-(B)(C)(D)-解析:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面A1BC1的法向量,则即令z=2,则y=1,x=2,于是n=(2,1,2),=(0,2,0),设所求线面角为α,则sinα=|cos|=.故选B.7.如图,在正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成角为.解析:如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-,).则=(2a,0,0),=(-a,-,),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n>===.所以<,n>=60°,4所以直线BC与平面PAC所成的角为30°.答案:30°8.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是.解析:如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离d===.答案:能力提升(时间:15分钟)9.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:不妨令CB=1,则CA=CC1=2.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),所以=(0,2,-1),=(-2,2,1),所以cos<,>===>0.5所以与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.10.导学号38486172已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:如图,以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz,设棱长为1,则A(,0,1),B1(0,,0).设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ,EB1为平面ACC1A1的法向量.则sinθ=...
