考点38随机抽样、用样本估计总体一、选择题1.(2016·北京高考文科·T8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号选手进入30秒跳绳决赛D.9号选手进入30秒跳绳决赛【解题指南】从进入立定跳远决赛的8人中,按知道的成绩由小到大找出哪几个人必进入决赛.【解析】选B.进入立定跳远决赛的学生是1到8号.由同时进入两项决赛的有6人可知,1号到8号恰有6人进入30秒跳绳决赛.在1号到8号的30秒跳绳决赛成绩中,3,6,7号学生的成绩高于1,4,5号学生,1号和5号成绩相同,所以1,3,5,6,7号学生必进入30秒跳绳决赛.二、解答题2.(2016·北京高考理科·T16)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数.(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)【解题指南】(1)利用表中数据可求出C班占的比例再乘以100.(2)利用独立事件的乘法公式,互斥事件的加法公式.(3)分别计算出平均值比较大小.【解析】(1)从A,B,C三个班中抽取的人数依次为5,7,8.所以估计C班的学生人数为100×=40人.(2)在A班中取到每个人的概率相同,均为,设A班中取到第i个人为事件Ai,i=1,2,3,4,5,C班中取到第j个人为事件Cj,j=1,2,3,4,5,6,7,8,A班中取到Ai>Cj的概率为Pi,所求事件为D则P(D)=P1+P2+P3+P4+P5=×+×+×+×+×=.(3)μ1<μ0,三组平均数分别为7,9,8.25,总均值μ0=8.2,但u1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08,比μ0小,故拉低了平均值.3.(2016·北京高考文科·T17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.【解析】(1)前四个小矩形面积之和为0.2×0.5+0.3×0.5+0.4×0.5+0.5×0.5=0.7,第五个小矩形的面积为0.3×0.5=0.15.因为w为整数,所以w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下:组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意,该市居民该月的人均水费估计为4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).
