高考数学复习点拨 抽象函数的对称性VIP免费

抽象函数的对称性关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。一、设yfx()是定义在R上的函数，若faxfbx()()，则函数yfx()的图象关于直线xab2对称。证明：设点A（m，n）是yfx()图象上任一点，即fmn()，点A关于直线xab2的对称点为Aabmn'，。∵fabmfbbmfmn()()()∴点A'也在yfx()的图象上，故yfx()的图象关于直线xab2对称。二、设yfx()是定义在R上的函数，则函数yfax()与函数yfbx()的图象关于直线xba2对称。证明：设点A（m，n）是yfax()图象上任一点，即famn()，点A关于直线xba2的对称点为Abamn'，。∵fbbamfamn[()]()∴点A'在yfbx()的图象上反过来，同样可以证明，函数yfbx()图象上任一点关于直线xba2的对称点也在函数yfax()的图象上，故函数yfax()与函数yfbx()的图象关于直线xba2对称。说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。易知，函数yfxab2与yfxab2的图象关于直线x0对称，由yfxab2的图象平移得到yfxbaabfax22()的图象，由yfxab2的图象平移得到yfxbaabfbx22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数yfax()与函数yfbx()的图象关于直线xba2对称。用心爱心专心三、设yfx()是定义在R上的函数，若faxcfbx()()2，则函数yfx()的图象关于点abc2，对称。证明：设点Amn，是yfx()图象上任一点，则fmn()，点A关于点abc2，的对称点为Aabmcn'，2。∵fabmcfbbmcfmcn()()()222∴点A'也在yfx()的图象上，故yfx()的图象关于点abc2，对称说明：（1）当abc0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。四、设yfx()是定义在R上的函数，则函数yfax()与函数ycfbx2()的图象关于点bac2，对称。证明：设点A（m，n）是yfax()图象上任一点，即famn()，点A关于点bac2，的对称点为Abamcn'，2∵222cfbbamcfamcn∴点A'在ycfbx2的图象上反过来，同样可以证明，函数ycfbx2()图象上任一点关于点bac2，的对称点在函数yfax()图象上。故函数yfax()与函数ycfbx2()的图象关于点bac2，对称。说明：此命题同样可以从图象变换的角度去理解。用心爱心专心