核心素养测评二十一三角函数的图象与性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=tan3x的定义域为()A.B.C.D.【解析】选D.由3x≠+kπ(k∈Z)得x≠+,k∈Z.2.(2019·连云港模拟)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为f(x)=cos2x+6cos=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-2+,又sinx∈[-1,1],所以当sinx=1时,f(x)取得最大值5.3.已知函数f(x)=2sinx+θ+θ∈是偶函数,则θ的值为()A.B.C.D.【解析】选B.因为f(x)为偶函数,1所以θ+=kπ+(k∈Z),又θ∈,所以θ+=,解得θ=,经检验符合题意.4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称【解析】选A.因为x=时,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取最大值,所以φ=,即g(x)=cos,对称中心,对称轴x=-.5.(多选)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π),f=,f=0且f(x)在(0,π)上单调.下列说法正确的是()A.ω=B.f=C.函数f(x)在上单调递增2D.函数y=f(x)的图象关于点对称【解析】选AC.由题意得函数f(x)的最小正周期为T=,因为f(x)在(0,π)上单调,所以=≥π,解得0<ω≤1.因为f=,f=0,所以解得所以f(x)=2sin.对于选项A,显然正确.对于选项B,f=2sin=2sin=,故B不正确.对于选项C,当-π≤x≤-时,0≤x+≤,所以函数f(x)在上单调递增,故C正确.对于选项D,f=2sin=2sin≠0,所以点不是函数f(x)图象的对称中心,故D不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)36.已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x(x∈R),则f(x)的最小正周期为________;当x∈时,f(x)的最小值为________.【解析】因为f(x)=(1+cos2x)sin2x=(1+cos2x)·==-=-cos4x,所以f(x)的最小正周期为T==;因为x∈,所以4x∈[0,π],所以cos4x∈[-1,1],因此,f(x)=-cos4x∈.即f(x)的最小值为0.答案:07.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在区间上的值域为________.【解析】由已知得g(x)=sin2=sin,因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,所以-≤2x-≤,所以-≤4sin≤1.g(x)的值域为.答案:8.(2018·北京高考)设函数f(x)=cosωx-(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.【解析】由已知,当x=时,f(x)取得最大值,由三角函数图象与性质,ω-=0+2kπ(k∈Z),即ω=+8k(k∈Z),又ω>0,所以当k=0时,ω有最小值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·北京模拟)已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+(x∈R).(1)求f(x)的周期及单调增区间.(2)若x∈时,求f(x)的最大值与最小值.【解析】(1)f(x)=sin2x-cos2x=sin,所以f(x)的周期T=π,5由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得单调递增区间为,k∈Z.(2)0≤x≤⇒-≤2x-≤,所以当x=0时,f(x)min=-;当x=时,f(x)max=1.10.(2019·厦门模拟)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0),B(6,0),C是函数f(x)图象的一个最高点.a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,满足(a+c)(sinC-sinA)=(a+b)sinB.(1)求函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.【解析】(1)由题意得sinφ=0,所以φ=0,=6,所以ω===,由正弦定理得(c+a)(c-a)=(a+b)b,整理得=-,即cosC=-,又C∈(0,π),所以C=.6在△ABC中,易知AC=BC,所以A=,取AB的中点D易得CD=,即M=,所以f(x)=sinx.(2)函数f(x)图象向左平移1个单位,得f(x+1)=sin,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得g(x)=sin,由2kπ+≤+≤2kπ+(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z).(15分钟35分)1.(5分)(2019·广东六校联考)已知A是函数f(x)=sin+cos的最大值,若存在实数x1,x2使得对任意实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A.B.C.D.7【解析】选B.f(x)=sin+cos=sin2018x+cos2018x+cos2018x+sin2018x=sin2018x+cos2018x=2sin,所以A=f(x)max=2,f(x)的最小正周期T==.又存在实数x1,x2使得对任意实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,所以f(x2)=f(x)max,f(x1)=f(x)min,所以A|x1-x2|的最小值为A×T=.2.(5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)的单调递增区间为...
