高考数学二轮复习 第二部分 专题二 数列 满分示范课——数列专题强化练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

满分示范课——数列求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳、对于非等差或等比数列，可从特殊情景出发，归纳出一般性的性质、规律；将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助数列的性质或基本量运算求解．典例】(满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[规范解答](1)由nan＋1＝2(n＋1)an，且bn＝，得＝2·，则bn＋1＝2bn.又a1＝1，知b1＝1.因此b2＝2b1＝2，b3＝2b2＝4.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由(1)知bn＋1＝2bn.又b1＝1≠0，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.高考状元满分心得1．写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中，写出bn＋1＝2bn，由条件a1＝1，分别求出b1，b2，b3.2．写明得分关键：数列解答题要严谨，如第(2)问“明确指出数列{bn}的首项和公比(基础量)，计算bn＝2n－1”．3．计算正确是得分的保证：如第(1)问正确求得b1，b2，b3；第(2)问准确求出an＝n·2n－1，否则不能得分．[解题程序]第一步：由条件，寻找bn＋1＝2bn的递推关系．第二步：计算b1，b2，b3的值．第三步：由等比数列的定义，判断{bn}是数列．第四步：借助第(2)问，求bn，进而求出an.第五步：检验易错、易混，规范解题步骤．[跟踪训练]1．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.解：(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝ln2＋(n－1)ln2＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，＝ean－an－1＝eln2＝2.所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2n＋1－2.2．(2019·惠州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋2n(n∈N*)．(1)证明：{an－2}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝log2(2－an)，若＋＋＋…＋＋＞，求正整数n的最小值．(1)证明：由于Sn＝2an＋2n，①当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋2(n－1)，②则①－②得an＝2an－2an－1＋2.所以an＝2an－1－2，即an－2＝2(an－1－2)．又n＝1时，a1＝2a1＋2，则a1＝－2.所以数列{an－2}是公比为2，首项为a1－2＝－4的等比数列，则an－2＝－4×2n－1，故an＝2－2n＋1.(2)解：由(1)知bn＝log2(2－an)＝n＋1，则＝＝－，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝－.依题设，－＞，则n＋2＞10，所以n＞8.故正整数n的最小值为9.