专题对点练6导数与函数的单调性、极值、最值1.(2017辽宁大连检测,理20)已知函数f(x)=ln(x-1)+(a∈R).(1)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线4x-3y-2=0相切,求a的值.解(1)f'(x)=, 函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,∴f'(x)≥0在(1,4)内恒成立,∴(x+1)2+a(x-1)≥0,即a≥=-x-3+=--4在(1,4)内恒成立, x∈(1,4),∴x-1∈(0,3),∴x-1+≥4,取等号条件为当且仅当x=3,∴--4≤-8,∴a≥-8.(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=,4x0-3y0-2=0,y0=ln(x0-1)+,∴,①且=ln(x0-1)+.②由①得a=(x0+1)2,代入②得=ln(x0-1)+·(x0+1)x0,即ln(x0-1)+=0,令F(x)=ln(x-1)+,则F'(x)=, 8x2-19x+17=0的Δ=-183<0,∴8x2-19x+17>0恒成立.∴F'(x)在(1,+∞)内恒为正值,∴F(x)在(1,+∞)内单调递增. F(2)=0,∴x0=2代入①式得a=3.2.(2017辽宁鞍山一模,理21改编)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,其中a∈R.(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,求a的值;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解(1)因为f'(x)=+2ax,由f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,可知f'(1)=+2a=1,所以a=.(2)由题意知,函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=+2ax=,令g(x)=2ax2+2ax+1,x∈(-1,+∞).(ⅰ)当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;(ⅱ)当a>0时,方程g(x)=2ax2+2ax+1的判别式Δ=4a2-8a=4a(a-2).①当0
2时,Δ>0,设方程2ax2+2ax+1=0的两根为x1,x2(x1-.由g(-1)=g(0)=1>0,可得-10,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.(ⅲ)当a<0时,Δ>0,由g(-1)=g(0)=1>0,可得x1<-1,x2>0,当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤2时,函数f(x)无极值点;当a>2时,函数f(x)有两个极值点.导学号〚16804167〛3.(2017河北衡水中学三调,理21)设函数f(x)=-ax,e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)的图象在点(e2,f(e2))处的切线方程为3x+4y-e2=0,求实数a,b的值;(2)当b=1时,若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立,求实数a的最小值.解(1)f'(x)=-a(x>0,且x≠1),由题意得f'(e2)=-a=-,f(e2)=-ae2=-e2,联立解得a=b=1.(2)当b=1时,f(x)=-ax,f'(x)=-a, x∈[e,e2],∴lnx∈[1,2],.∴f'(x)+a==-,∴[f'(x)+a]max=,x∈[e,e2].存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立⇔x∈[e,e2],f(x)min≤[f'(x)+a]max=.①当a≥时,f'(x)≤0,f(x)在x∈[e,e2]上为减函数,则f(x)min=f(e2)=-ae2≤,解得a≥.②当a<时,由f'(x)=--a在[e,e2]上的值域为.(ⅰ)当-a≥0即a≤0时,f'(x)≥0在x∈[e,e2]上恒成立,因此f(x)在x∈[e,e2]上为增函数,∴f(x)min=f(e)=e-ae,不符合题意,舍去.(ⅱ)当-a<0时,即00,f(x)为增函数.∴f(x)min=f(x0)=-ax0≤,x0∈(e,e2).∴a≥,与00时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.①当a≤0时,ex-a>0,当x<0时,h'(x)<...
