限时规范训练七圆锥曲线中的最值、范围问题(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，已知抛物线C1：x2＝2py的焦点在抛物线C2：y＝x2＋1上．(1)求抛物线C1的方程及其准线方程；(2)过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM，PN，切点为M，N.若PM，PN的斜率乘积为m，且m∈[2,4]，求|OP|的取值范围．解：(1)C1的焦点为F，所以＝0＋1，p＝2.故C1的方程为x2＝4y，其准线方程为y＝－1.(2)任取点P(2t，t2)，设过点P的C2的切线方程为y－t2＝k(x－2t)．由得x2－2kx＋4tk－2t2＋2＝0.由Δ＝(－2k)2－4(4tk－2t2＋2)＝0，化简得k2－4tk＋2t2－2＝0，设PM，PN斜率分别为k1，k2，则m＝k1k2＝2t2－2，因为m∈[2,4]，所以t2∈[2,3]，所以|OP|2＝4t2＋t4＝(t2＋2)2－4∈[12,21]，所以|OP|∈[2，]2．(2016·河北石家庄市模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x＝－相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．解：(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x＝－的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y2＝2x.(2)法一：设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直线PB的方程为：(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，又圆心(1,0)到PB的距离为1，所以＝1，整理得：(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，同理可得：(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0，所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，所以b＋c＝，bc＝，依题意bc<0，即x0>2，则(b－c)2＝，因为y＝2x0，所以|b－c|＝，所以S＝|b－c|x0＝(x0－2)＋＋4≥8，当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.法二：设P(x0，y0)，直线PB：y－y0＝k(x－x0)，由题意知PB与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则＝1，整理得：(x－2x0)k2＋2(1－x0)y0k＋y－1＝0，k1＋k2＝－，k1k2＝，依题意x0>2，则|yB－yC|＝|(y0－k1x0)－(y0－k2x0)＝|k1－k2|x0，又|k1－k2|＝，则|yB－yC|＝，所以S＝|yB－yC||x0|＝(x0－2)＋＋4≥8，当且仅当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.3．已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．解：(1)∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2.由x2＋2＝，得x＝±，∴c＝，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2.∵a2＝b2＋c2，∴b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题知，点A的坐标为(，1)，∵MN＝λOA(λ≠0)，∴直线的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m，联立得，x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8＞0，∴－2＜m＜2.又|MN|＝|x2－x1|＝＝，点A到直线l的距离d＝，∴S△AMN＝|MN|·d＝×|m|＝≤×＝，当且仅当4－m2＝m2，即m＝±时等号成立，此时直线l的方程为y＝x±.4．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r＞0)的一条直径是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的长轴，过椭圆C2上一点D的动直线l与圆C1相交于点A，B，弦AB长的最小值是.(1)求圆C1和椭圆C2的方程；(2)椭圆C2的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m，n，设直线m交圆C1于点P，Q，直线n交椭圆C2于点M，N，求四边形PMQN面积的取值范围．解：(1)当l垂直于OD时|AB|最小，因为|OD|＝＝，所以r＝＝2，因为圆C1：x2＋y2＝r2(r＞0)的一条直径是椭圆C2的长轴，所以a＝2.又点D在椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)上，所以＋＝1⇒b＝，所以圆C1的方程为x2＋y2＝4，椭圆C2的方程为＋＝1.(2)椭圆C2的右焦点F的坐标是(1,0)，当直线m垂直于x轴时，|PQ|＝2，|MN|＝4，四边形PMQN的面积S＝4；当直线m垂直于y轴时，|PQ|＝4，|MN|＝3，四边形PMQN的面积S＝6，当直线m不垂直于坐标轴时，设n的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，此时直线m的方程为y＝－(x－1)，圆心O到直线m的距离为d＝，所以|PQ|＝2＝2，将直线n的方程代入椭圆C2的方程得到(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，|MN|＝，所以四边形PMQN的面积S＝|PQ|·|MN|＝＝＝4·∈(6,4)，∵4＋＞4∴0＜＜∴－＜＜0∴＜＋1＜1∴＜＜1综上，四边形PMQN的面积的取值范围是[6,4]．
