第15讲导数的意义及运算1．已知函数f(x)＝a2＋sinx，则f′(x)＝()A．3a＋cosxB．a2＋cosxC．3a＋sinxD．cosx2．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝()．A.B．1C．2D．33．(2016年山东)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x34．已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)图象的公切线，则直线l的方程为()A．y＝x或y＝x－1B．y＝－ex或y＝－x－1C．y＝ex或y＝x＋1D．y＝－x或y＝－x＋15．(2015年陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点Ρ处的切线垂直，则点P的坐标为________．6．(2019年天津)曲线y＝cosx－在点(0,1)处的切线方程为__________．7．(2016年新课标Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.8．过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程为____________．9．(多选)若直线l与曲线C：y＝f(x)满足以下两个条件：(ⅰ)点P(x0，y0)在曲线C：y＝f(x)上，直线l方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(ⅱ)曲线C：y＝f(x)在点P(x0，y0)附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列选项正确的是()A．直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3B．直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2C．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinxD．直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx10．已知关于x的方程kx－1＝cosx(k>0)恰好有两个不同解，其中α为方程中较大的解，则αtan＝________.11．(2019年江苏)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．12．(2019年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．第15讲导数的意义及运算1．D2．D解析：f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，f(1)＋f′(1)＝3.3．A解析：当y＝sinx时，y′＝cosx，cos0·cosπ＝－1，∴在函数y＝sinx图象上存在两点x＝0，x＝π使条件成立，故A正确；函数y＝lnx，y＝ex，y＝x3的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．C解析：设切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， f′(x)＝ex，g′(x)＝，∴ex1＝＝，∴ex1＝，整理得(x1－1)(ex1－1)＝0.解得，或∴切线方程为y＝ex或y＝x＋1，故选C.5．(1,1)解析： y＝ex，∴y′＝ex.∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝y′|x＝0＝e0＝1.设点P的坐标为(x0，y0)(x0＞0)，则y0＝. y＝，∴y′＝－.∴曲线y＝在点Ρ处的切线斜率k2＝y′|x＝x0＝－. k1·k2＝－1，∴－＝－1，即x＝1.解得x0＝±1. x0＞0，∴x0＝1.∴y0＝1，即点P的坐标是(1,1)．6．x＋2y－2＝0解析： y＝cosx－，∴y′＝－sinx－.设切线斜率为k，则k＝－sin0－＝－，∴切线方程为y－1＝－x，即x＋2y－2＝0.7．1－ln2解析：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)．化简，得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)．依题意，得解得x1＝.从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.8．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0解析：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.9．AC10．－1解析：kx－1＝cosx(k>0)恰好有两个不同解，即直线y＝kx－1与y＝cosx恰好有两个不同交点，如图D131，k＝－sinα＝，∴α＝－，则αtan＝－·tan＝－·＝－1.图D13111．4解析：当直线x＋y＝0平移到与曲线y＝x＋相切位置时，切点Q即为点P到直线x＋y＝0的距离最小．由y′＝1－＝－1，得x＝(－舍)，y＝3，即切点Q(，3)，则切点Q到直线x＋y＝0的距离为＝4.12．(1)...
