高中数学用整体思想解决不等式问题学法指导徐加生在解答某些不等式的问题中，若将题设或结论视为整体，通过对整体结构的调节或转化可以收到简化运算、降低思维难度、缩短推证过程之功效。下面举例说明。一、整体求解视所求问题的多个结论为整体，根据结构特征，合理变形，直接求出欲求的答案。例1设函数且满足不等式，求的取值范围。分析：由已知得①②而，设，则即，由不等式相加得二、整体换元有一些轮换式，初看关系不明显，通过对相关式子整体换元后，可找到解题突破口。例2已知，求证：分析：在证明分式不等式时，如果分母是多项式，可将分母视为一个整体，这将有利于问题的解决。解：设则于是故三、整体变形把某一相关的知识块看作一个整体，进行整体变形，寻找各知识块之间内在的联系。例3设是由正数组成的等比数列，是前n项和，证明分析：欲证即须证明一般方法是用前n项和公式，并对来讨论，但若将视为整体，进行变形，可得简解。解：设公比为q，则，所以即，则结论成立。四、整体思形通过挖掘所给条件中的几何事实，构造相关的几何图形，利用几何性质帮助解题。用心爱心专心例4已知m为实数，，求证：分析：由条件知，存在一个，使得，于是构造一个三角形，借助三角形整体作用解决问题。解：构造△ABC，使其外接圆直径为1，三内角为x、y、z，且x、y、z的对边分别为a、b、c，由正弦定理知需证的不等式，即因且故恒成立，即原不等式成立。五、整体匹配在解决一些分式问题时，根据分母的特点，寻找与分式匹配的式子，使之方便运用均值不等式解题。例5若,求证：分析：本题变量在分母，三个分母为正，它们的和为：，考虑将不等式的左边“匹配”成两两互为“倒数”的和。解：因为所以六、整体对偶根据问题的特征，整体地设一个与之对偶的式子，并能运用代数运算消去所设部分，使问题获简解。例6对于一切大于1的自然数n，证明分析：考查欲证式是一个连乘式，运算较为复杂，若构造一个也是连乘积式子与之相乘，可简化解题。简证：设则，再设则，于是，故七、整体思考将所求问题中的某个式子看作一个整体，避免分开求解或分类讨论，减少复杂的运算和书写过程。例7解关于x的不等式，其中。分析：原不等式化为，即，整体变形为整体解出（1）当，即时，原不等式解集为；（2）当用心爱心专心时，解集为R；（3）当时，解集为八、整体构造在充分考查题设结构的基础上，通过整体构造函数、方程等，以帮助解题。例8证明不等式分析：整体构造函数，利用函数的单调性证明，设，而，即；所以f(n)是上的减函数，，即用心爱心专心
