浙江省高考数学一轮复习第二章不等式第4节绝对值不等式及其应用（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

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第4节绝对值不等式及其应用考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.[常用结论与易错提醒]1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()解析(1)当c＝0时，x≠0；(3)当a≥0≥b且|a|≥|b|时，等号成立；(4)当ab≥0且|a|≥|b|时，等号成立.答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.(2020·杭州四中仿真)已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|＜2”是“x≠1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析|x－3|－|x－1|＜2等价于或或解得x＞1，所以“|x－3|－|x－1|＜2”是“x≠1”的充分不必要条件，故选A.答案A3.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为()A.5或8B.－1或5C.－1或－4D.－4或8解析分类讨论：当a≤2时，f(x)＝显然，x＝－时，f(x)min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，当a>2时，f(x)＝显然x＝－时，f(x)min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.答案D4.设x∈R，不等式|x|＋|2x－1|＞2的解集为________.解析当x<0时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得x<－；当0≤x≤时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即x<－1，无解；当x>时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为.答案5.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.解析设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；当－2≤x＜时，5≥y＝－x＋3＞；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.答案6.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，则不等式f(x)≥3x＋2的解集为________.(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为________.解析(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故当a＝1时，不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组或即或因为a>0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.答案(1){x|x≥3或x≤－1}(2)2考点一含绝对值不等式的解法【例1】(一题多解)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.解法一如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二...

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