一、含导函数的抽象函数的构造培优点三含导函数的抽象函数的构造例1：已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为________．【答案】【解析】设，则． ，∴，所以函数是上的减函数， 函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，∴，原不等式等价为，∴不等式等价，． 在上单调递减，∴．故答案为．例2：已知f(x)=ex−ax2，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=bx+1．（1）求，的值；（2）求f(x)在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x>0时，ex+(1−e)x−alnx−1≥0．【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1），由题设得，f(1)=e−a=b+1，解得，．（2）由（1）知f(x)=ex−x2，∴，，∴在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以，所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max=f(1)=e−1．（3）因为，又由（2）知，f(x)过点(1,e−1)，且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e−2)x+1，故可猜测：当，时，f(x)的图象恒在切线y=(e−2)x+1的上方．下证：当x>0时，f(x)≥(e−2)x+1，设，，则，，由（2）知，在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，又，，，∴，所以，存在x0∈(0,1)，使得，所以，当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时，；当x∈(x0,1)时，，故g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又g(0)=g(1)=0，∴g(x)=ex−x2−(e−2)x−1≥0，当且仅当x=1时取等号，故，．由（2）知，ex+(2−e)x−1x≥x≥lnx+1，即ex+(2−e)x−1x≥lnx+1，所以ex+(2−e)x−1≥xlnx+x，即ex+(1−e)x−1−xlnx≥
