一、含导函数的抽象函数的构造培优点三含导函数的抽象函数的构造例1：已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为________．【答案】【解析】设，则． ，∴，所以函数是上的减函数， 函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，∴，原不等式等价为，∴不等式等价，． 在上单调递减，∴．故答案为．例2：已知f(x)=ex−ax2，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=bx+1．（1）求，的值；（2）求f(x)在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x>0时，ex+(1−e)x−alnx−1≥0．【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1），由题设得，f(1)=e−a=b+1，解得，．（2）由（1）知f(x)=ex−x2，∴，，∴在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以，所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max=f(1)=e−1．（3）因为，又由（2）知，f(x)过点(1,e−1)，且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e−2)x+1，故可猜测：当，时，f(x)的图象恒在切线y=(e−2)x+1的上方．下证：当x>0时，f(x)≥(e−2)x+1，设，，则，，由（2）知，在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，又，，，∴，所以，存在x0∈(0,1)，使得，所以，当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时，；当x∈(x0,1)时，，故g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又g(0)=g(1)=0，∴g(x)=ex−x2−(e−2)x−1≥0，当且仅当x=1时取等号，故，．由（2）知，ex+(2−e)x−1x≥x≥lnx+1，即ex+(2−e)x−1x≥lnx+1，所以ex+(2−e)x−1≥xlnx+x，即ex+(1−e)x−1−xlnx≥0成立，当x=1时，等号成立．对点增分集训一、选择题1．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时，，符合条件的只有D选项，故选D．2．曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ，∴，则，∴曲线在点处的切线方程为，令，解得．∴曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是，故选C．3．已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，令，得，，所以，所以，故选D．4．曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求导，则曲线，在点处的切线的斜率，由点斜式可得，即切线方程为，故选C．5．函数的极小值点是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由，得或．函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值点为．故选A．6．函数在处有极值,则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：， 在处有极值，∴，解得．经检验满足题意，本题正确选项C．7．若函数，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的定义域为，因为，令并且，得，所以函数的单调递减区间为．故本题正确答案为C．8．己知，为导数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，∴，∴，故本题选A．9．函数的导数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，∴，故选A．10．已知函数在点处的切线经过原点，则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，，∴，切线方程为，故，解．故选D．11．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点【答案】D【解析】函数，则函数，令，解得，当，解得，∴函数在单调递增；由，解得，∴函数在上单调递减．∴函数在取得极小值，故选D．12．若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，配方得，故对称轴为，如图所示：由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减，又真数，二次函数在上单调递减，故只需当时，若，则时，真数，代入，解得，所以的取值范围是．故选A．二、填空题13．已知，则_____．【答案】【解析】，令，则，故．故填．14．曲线在点处的切线方程为_______．【答案】【解析】因为，所以，又切点为，所以在点处的切线方程为．15．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则______．【答案】【解析】由题意可知，，故．三、解答题16．已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1...
