小题专项训练15圆锥曲线一、选择题1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x【答案】C【解析】由题意可得＋2＝4，解得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝()A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】由题意得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c2＝a2＋b2＝20，解得a＝2，b＝4.3．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝8，则|AF2|＋|BF2|＝()A．2B．10C．12D．14【答案】C【解析】由题意，椭圆的长半轴长a＝5，由椭圆定义知|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20. |AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝20－8＝12.4．若函数f(x)＝k(x＋1)(x－2)的图象与坐标轴的交点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点或焦点，则k＝()A．B．±C．D．±【答案】D【解析】由题意得c＝1，a＝2，则b＝，所以±＝－2k，解得k＝±.5．(2019年重庆模拟)已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，)B．(1,2)C．(，＋∞)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±.由题意，得>，所以1＋>4，所以e>2.6．(2019年山东济南模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝()A．B．3C．D．2【答案】B【解析】如图所示，因为FP＝4FQ，所以＝.过点Q作QM⊥l，垂足为M，则MQ∥x轴，所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝()A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】 △OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．由外接圆的面积为9π，得外接圆半径为3.又圆心在线段OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，解得p＝4.8．(2019年广西南宁模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若FB＝2FA，则此双曲线的离心率为()A．B．C．2D．【答案】C【解析】如图，因为FB＝2FA，所以A为线段FB的中点．所以∠2＝∠4.又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3.故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒＝.所以e2＝1＋2＝4，解得e＝2.9．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝.若|AB|＝4，|BC|＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知2a＝4，则a＝2. ∠CBA＝，|BC|＝，∴点C的坐标为(－1,1)． 点C在椭圆上，∴＋＝1.∴b2＝，则c2＝a2－b2＝4－＝，解得c＝.∴椭圆的两个焦点之间的距离为.10．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆(x－1)2＋y2＝于点A，B，C，D四点，则9|AB|＋|CD|的最小值是()A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1.又 |AF|＝|AB|＋，∴|AB|＝xA＋.同理|CD|＝xD＋.当l⊥x轴时，则xA＝xD＝1，∴9|AB|＋|CD|＝15；当l与x轴不垂直时，设其方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴xA＋xD＝，xAxD＝1，∴9|AB|＋|CD|＝5＋9xA＋xD≥5＋2＝11.综上，9|AB|＋|CD|的最小值为11.11．(2019年河南洛阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该双曲线交于A，B两点，若OA＋OB与向量n＝(－3，－1)共线，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【答案】A【解析】由题意得直线方程为y＝x＋c，代入双曲线的方程，整理得(b2－a2)x2－2a2cx－a2c2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝，∴OA＋OB＝. OA＋OB与向量n＝(－3，－1)共线，∴＝3·，得a2＝3b2.∴C的渐近线方程为y＝±x＝±x.12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，...
