高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导任岭云椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。∴，。二、公式的应用例1椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。∴，即，。评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。例2设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。用心爱心专心由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。由焦半径公式，得，。（1）若∠为直角，则，即，解得，故。（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。例3已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。因此，点M不存在。评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简洁明了。用心爱心专心
