压轴提升卷(三)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)已知平面上动点P到点F(，0)的距离与直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1.①设直线l与圆x2＋y2＝1交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程；并探究：若M(m，n)是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P(x，y)，由题意，得＝，整理，得＋y2＝1，所以曲线E的方程为＋y2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l的距离d＝，∵直线与圆有两个不同交点C，D，∴|CD|2＝4，又＋n2＝1(n≠0)，故|CD|2＝4，由0＜d＜1，得m＞0，又|m|≤2，∴0＜m≤2.∴0＜1－≤，因为|CD|2∈(0，3]，|CD|∈(0，]，即|CD|的取值范围为(0，]．②当m＝0，n＝1时，直线l的方程为y＝1；当m＝2，n＝0时，直线l的方程为x＝，根据椭圆对称性，猜想E′的方程为4x2＋y2＝1.下证：直线mx＋ny＝1(n≠0)与4x2＋y2＝1相切，其中＋n2＝1，即m2＋4n2＝4，由消去y得：(m2＋4n2)x2－2mx＋1－n2＝0，即4x2－2mx＋1－n2＝0，∴Δ＝4m2－16(1－n2)＝4(m2＋4n2－4)＝0恒成立，从而直线mx＋ny＝1与椭圆E′：4x2＋y2＝1恒相切．若点M(m，n)是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，则直线l：mx＋ny＝1与定曲线Γ′：＋＝1(A·B≠0)恒相切．2．(2018·山东潍坊市二摸)已知函数f(x)＝(x－a)ex－ax2＋a(a－1)x.(x∈R)(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为l，l与x轴的交点坐标为(2，0)，求a的值；(2)讨论f(x)的单调性．解：(1)f′(x)＝(x－a)ex＋ex－ax＋a(a－1)，∴f′(0)＝(a－1)2，又f(0)＝－a，∴切线方程为：y＋a＝(a－1)2(x－0)，令y＝0得x＝＝2，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.(2)f′(x)＝(x－a)ex＋ex－ax＋a(a－1)＝[x－(a－1)](ex－a)，当a≤0时，ex－a≥0，x∈(－∞，a－1)，f′(0)＜0，f(x)为减函数，x∈(a－1，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝a－1，x2＝lna，令g(a)＝a－1－lna，则g′(a)＝1－＝，当a∈(0，1)时，g′(a)＜0，g(a)为减函数，当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＞0，g(a)为增函数，∴g(a)min＝g(1)＝0，∴a－1≥lna(当且仅当a＝1时取“＝”)，∴当0＜a＜1或a＞1时，x∈(－∞，lna)，f′(x)＞0，f(x)为增函数，x∈(lna，a－1)，f′(x)＜0，f(x)为减函数，x∈(a－1，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)为减函数，a＝1时，f′(x)＝x(ex－1)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述：a≤0时，f(x)在(－∞，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数，0＜a＜1或a＞1时，f(x)在(lna，a－1)上为减函数，在(－∞，lna)和(a－1，＋∞)上为增函数；a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
