第80讲概率与统计的综合问题1．(2018·湖北5月冲刺试题)有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒，如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且第二次补种的种子颗粒同第一次)．假定每个坑第一次播种需要2元，补种1个坑需1元；每个成活的坑可收获100粒试验种子，每粒试验种子收益1元．(1)用ξ表示播种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；(2)用η表示收益，分别求出两种方案的收益η的数学期望；(3)如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？(1)方案一：用X1表示一个坑播种的费用，则X1可取2，3.X123P()3所以EX1＝2×＋3×＝.所以Eξ1＝40×EX1＝85元．方案二：用X2表示一个坑播种的费用，则X2可取2，3.X223P()2所以EX2＝2×＋3×＝.所以Eξ2＝60×EX2＝135元．(2)方案一：用Y1表示一个坑的收益，则Y1可取0，100.Y10100P()2所以EY1＝100×＝.所以Eη1＝40×EY1＝3937.5元．方案二：用Y2表示一个坑的收益，则Y2可取0，100.Y20100P()2所以EY2＝100×＝，所以Eη2＝60×EY2＝5625元．(3)方案二所需的播种费用比方案一多50元，但是收益比方案一多1687.5元，故应选择方案二．2．(2018·长春二模)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样从质量为[250，300)，[300，350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300，350)内的芒果个数，求X的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．(1)9个芒果中，质量在[250，300)和[300，350)内的分别有6个和3个．则X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X0123PX的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(2)方案A:(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750元方案B：低于250克：(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000元，高于或等于250克(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19500元，总计7000＋19500＝26500元．由25750<26500，故B方案获利更多，应选B方案．3．(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少为80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平...
