第一讲等差数列、等比数列(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,若=(n∈N*),则=()A.B.C.D.【解析】选D.==.2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.【解析】选A.由=a2·a8得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2所以Sn=na1+d=n2+n.3.已知数列{an}满足:=,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.11【解析】选D.因为数列{an}满足:=,所以an+1+1=2(an+1),即数列{an+1}是等比数列,公比为2.则a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.4.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a2=3,且a3,a5,a8成等比数列,设bn=,则数列{bn}的前n项和Tn为()A.B.C.D.【解析】选B.设公差为d(d≠0),首项为a1,所以a1+d=3,(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2,解得a1=2,d=1,所以an=n+1,bn==2,所以Tn=2+2+…+2=2=.5.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12【解析】选B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=06+2d=0⇒⇒d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若{an}为等比数列,an>0,且a2018=,则+的最小值为_______.【解析】+=≥=4答案:47.设Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S2=S6,-=2,则a1=_______________,公差d=____________.【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S2=S6,-=2,所以2a1+d=6a1+15d,-=2,解得a1=-14,d=4.答案:-1448.对给定的正整数n(n≥6),定义f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中a0=1,ai=2ai-1(i∈N*,i≤n),则a6=____________;当n=2017时,f(2)=____________.【解析】因为a0=1,ai=2ai-1(i∈N*,i≤n),所以a6=2a5=22a4=…=26a0=64.f(2)=20+21×2+22×22+23×23+…+22017×22017==.答案:64三、解答题(每小题10分,共30分)9.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6,(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由=9a2a6,得=9,所以q2=,由条件可知q>0,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故数列{an}的通项公式为an=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-,故=-=-2.++…+=-2=-.10.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)因为S1=T1=2S1-1,S1=1=a1,所以a1=1.因为S1+S2=T2=2S2-4,所以a2=4.因为S1+S2+S3=T3=2S3-9,所以a3=10.(2)因为Tn=2Sn-n2①,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2②,所以①-②得,Sn=2an-2n+1(n≥2),因为S1=2a1-2×1+1,所以Sn=2an-2n+1(n≥1)③,Sn-1=2an-1-2n+3④,③-④得,an=2an-1+2(n≥2)an+2=2(an-1+2).因为a1+2=3,所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,an+2=3×2n-1,故an=3×2n-1-2.11.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n+1,正项等比数列{bn}的前n项和为Tn,且b2=a2,b4=a5.(1)求{an}和{bn}的通项公式.(2)数列{cn}中,c1=a1,且cn=cn+1-Tn,求{cn}的通项公式cn.【解析】(1)因为Sn=n2-n+1,所以令n=1,a1=1,an=Sn-Sn-1=2(n-1),(n≥2),经检验a1=1不能与an(n≥2)合并,所以an=又因为数列{bn}为正项等比数列,b2=a2=2,b4=a5=8,所以=q2=4,所以q=2,所以b1=1,所以bn=2n-1.(2)Tn==2n-1,因为c2-c1=21-1,c3-c2=22-1,…,cn-cn-1=2n-1-1,以上各式相加得cn-c1=-(n-1),c1=a1=1,所以cn-1=2n-n-1,所以cn=2n-n.(20分钟20分)1.(10分)已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且Sn=.(1)求a1,a3.(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式.【解析】(1)令n=1,则a1=S1==0,令n=3,则S3=,即0+1+a3=,解得a3=2.(2)由Sn=,即Sn=,①得Sn+1=,②②-①,得(n-1)an+1=nan,③于是,nan+2=(n+1)an+1,④③-④,得nan+2+nan=2nan+1,即an+2+an=2an+1,又a1=0,a2=1,a2-a1=1,所以数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.所以an=n-1.【提分备选】已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1+Sn=,数列{bn}满足bn·bn+1=,且b1=1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)记Tn=anb2+an-1b4+…+a1b2n,求Tn.【解析】(1)因为Sn+1+Sn=,①Sn+Sn-1=(n≥2),②①-②得:an+1+an=-,所以(an+1+an)(an+1-an-1)=0,因为an+1>0,an>0,所以an+1+an≠0,所以an+1-an=1(n≥2)...
