课后提升作业二十七两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知α∈,sinα=,则tan的值等于()A.B.7C.-D.-7【解析】选A.因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-,所以tanα==-,所以tan===.2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于()A.B.C.D.【解析】选C.tan=tan==.3.直线l1:x-2y+1=0,倾斜角为α,直线l2:x+3y-1=0,倾斜角为β,则β-α=()A.B.C.-D.-【解析】选B.由题意可知,tanα=,tanβ=-,所以0<α<,<β<π.所以0<β-α<π,所以tan(β-α)===-1,所以β-α=.【补偿训练】已知=,则tan的值为()A.B.-C.D.-【解析】选C.tan===.4.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)的值为()A.B.C.4D.12【解析】选C.因为(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,所以4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17,所以tanα-tanβ=4(1+tanαtanβ),所以tan(α-β)==4.5.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】选A.因为tanA+tanB=,tanA·tanB=,所以tan(A+B)=,所以tanC=-tan(A+B)=-,所以C为钝角.6.(2016·成都高一检测)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为()A.B.C.D.【解析】选B.因为C=120°,所以tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC=-tan120°=.又因为tan(A+B)=,所以=所以1-tanAtanB=,tanAtanB=.7.(2016·石家庄高一检测)设tanα=(1+m),tan(-β)=(tanα·tanβ+m),且α,β为锐角,cos(α+β)的值为()A.B.C.-D.【解析】选D.由题意知tanα+tanβ=-tanαtanβ,即=,所以tan(α+β)=,又0<α+β<π,则α+β=,从而cos(α+β)=.8.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanAtanC,则角B=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解题指南】利用已知条件和tan(A+C)=构建关于tanB的方程,求tanB,再求角B.【解析】选C.因为A+B+C=180°,所以tan(A+C)=-tanB,又tanA+tanB+tanC=3,所以tanA+tanC=3-tanB,又tan2B=tanAtanC,所以由tan(A+C)=得-tanB=,tan3B=3,故tanB=,B=60°.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·江苏高考)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]=.因为tanα=-2,tan(α+β)=,所以上式==3.答案:310.已知α,β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=.【解析】因为tanβ==.所以tanβ+tanαtanβ=1-tanα.所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1.所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以=1,所以tan(α+β)=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知tan=2,tanβ=,(1)求tanα的值.(2)求的值.【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开,转化为关于tanα的方程求tanα.(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开sin(α+β),cos(α+β),化简原式,然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切,并用公式求值.【解析】(1)因为tan=2,所以=2,所以=2,解得tanα=.(2)====tan(β-α)===.12.已知tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.【解析】由已知有所以tan(α+β)===.所以sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.【能力挑战题】是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立.由(1)得+β=,所以tan==.又tantanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根.解得:x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾.所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=.所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.
